Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+8，x≤0}\\{sinπx，x＞0}\end{array}\right.$的，且f（x）-ax≥-1对任意的x恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A． （-6，0]
• B． [-6，0）
• C． （-1，0）
• D． [-1，0]

Answer 1

分析 作出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+8，x≤0}\\{sinπx，x＞0}\end{array}\right.$的图象，由题意可得f（x）的图象恒在直线y=ax-1的上方，由图象观察可得a≤0，当x＜0时，直线与f（x）的图象相切，联立方程，运用判别式为0，可得a，通过图象观察即可得到a的范围．

解答 解：作出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+8，x≤0}\\{sinπx，x＞0}\end{array}\right.$的图象，
由f（x）-ax≥-1对任意的x恒成立，即为
f（x）的图象恒在直线y=ax-1的上方，
由图象观察可得a≤0，
当x＜0时，直线与f（x）的图象相切，
联立y=x²+8和y=ax-1，可得x²-ax+9=0，
由判别式a²-36=0，解得a=-6（6舍去），
则由直线绕着（0，-1）旋转，可得a的范围是[-6，0]．
故选B．

点评 本题考查分段函数及运用，考查不等式恒成立问题转化为图象的位置关系，运用数形结合的思想方法是解题的关键．