Question

16．已知正弦函数f（x）=sinx．下列说法不正确的是（　　）

• A． 函数y=f（x）的图象与函数y=$\frac{1}{π-x}$的图象在[0，2π]上所有交点的横坐标之和为4π
• B． ?x∈[0，+∞），f（x）≤x
• C． 若函数y=f（x）的图象的两条相互垂直的切线交于P点，则点P的坐标可能为（$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）
• D． 若函数y=f（x）的图象的两条相互垂直的切线交于P点，则点P的坐标可能为（$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{2}$）

Answer 1

分析 A．作出两个函数的图象，得到两个函数都关于点（π，0）对称，利用对称性进行求解判断．
B．构造函数g（x）=f（x）-x=sinx-x，求函数的导数，利用导数判断函数的单调性即可得到结论．
C．D若l₁，l₂是函数f（x）=sinx图象上的任意两条相互垂直的切线，设这两个切点的横坐标分别为x₁、x₂，则cosx₁cosx₂=-1，即切点的横坐标等于kπ，纵坐标为0．求出相邻的两条切线方程，解方程组求出两切线交点的坐标，检验可得结论．

解答 解：A．作出函数y=$\frac{1}{π-x}$的图象，则函数关于点（π，0）对称，
同时点（π，0）也是函数y=sinx（0≤x≤2π）的对称点，
由图象可知，两个函数在[0，2π]上共有4个交点，两两关于点（π，0）对称，
设对称的两个点的横坐标分别为x₁，x₂，
则x₁+x₂=2×π=2π，
∴4个交点的横坐标之和为2×2π=4π．故A正确，
B．设g（x）=f（x）-x=sinx-x，
则g′（x）=cosx-1≤0，即当x≥0时，函数g（x）单调递增，
则g（x）≤g（0）=0，即?x∈[0，+∞），f（x）≤x成立，故B正确，
C．由f（x）=sinx，得f′（x）=cosx，若l₁，l₂是函数f（x）=sinx图象上的任意两条相互垂直的切线，
设这两个切点的横坐标分别为x₁、x₂，则cosx₁cosx₂=-1．
不妨设cosx₁≤cosx₂，则必有cosx₁=-1，cosx₂=1，故切点的横坐标等于kπ，纵坐标为0．
由于所给选项纵坐标比较小，故这两条切线必为相邻两条互相垂的切线．
不妨设切线的斜率等于1的切线对应的一个切点为A（0，0），则另一个切线的斜率为-1．
①当另一个切点为B（-π，0），则两条切线的方程分别为y=x、y=-1（x+π），
可得此时这两条切线的交点为（-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$）．
②当另一个切点为C（π，0），则两条切线的方程分别为y=x、y=-1（x-π），
可得此时这两条切线的交点为（$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
③若斜率等于1的切线对应的一个切点为E（2π，0），当另一个切点为C（π，0），
则两条切线的方程分别为y=x-2π、y=-1（x-π），
可得此时这两条切线的交点为（$\frac{3π}{2}$，-$\frac{π}{2}$）．
故C正确，D错误，
故选：D

点评 本题主要考查与正弦函数有关的命题的真假判断，涉及的内容较多，综合性较强，难度较大．