Question

4．O为?ABCD所在平面上一点，若$\frac{|\overrightarrow{AB|}}{|\overrightarrow{AD|}}$=$\frac{2}{3}$，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ（$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$），$\overrightarrow{OA}$=μ（$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$），则λ的值是（　　）

• A． -$\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{2}{3}$
• D． -1

Answer 1

分析 利用平行四边形的性质、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理即可得出．

解答 解：如图所示，延长AC到点E，使得AE=2AC，以AE，AB为邻边作一个平行四边形ABFE，连接对角线AF．
分别取AB，CD的中点N，M．
由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ（$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$），$\overrightarrow{OA}$=μ（$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$），
可知：点O是AF与NM的交点．
直线EF与NM相交于点P，直线EF与AD相交与点Q，直线DC与AF相交于点G．
∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{ON}$，$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OM}$，
∴$\overrightarrow{ON}=λ\overrightarrow{OM}$．
∵若$\frac{|\overrightarrow{AB|}}{|\overrightarrow{AD|}}$=$\frac{2}{3}$，
∴不妨设|$\overrightarrow{AB}$|=2，则|$\overrightarrow{AD}$|=3，
∵点C是线段AE的中点，
∴EQ=4，PQ=1，EP=3．
∴$\frac{ON}{OP}=\frac{AN}{FP}$=$\frac{1}{5}$，
∵G为AF的中点，
∴CG=$\frac{1}{2}$EF=1．
∴$\frac{OM}{OP}=\frac{MG}{FP}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{ON}{OM}=\frac{1}{2}$，
∴$λ=-\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了向量的平行四边形法则、向量共线定理、平行四边形的性质、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，难度较大．