Question

9．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+bx-1}{x}$，且f（1）=0．
（1）求b的值，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并给予证明；
（2）对任意x∈[1，+∞），不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若有常数M，使得对任意的x₁∈（a，b），存在唯一的x₂∈（a，b）满足$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=M，则称M为函数f（x）在（a，b）上的“均值”，试求函数f（x）在（1，3）上的“均值”并说明理由．

Answer 1

分析 （1）容易求出b=0，从而得到f（x）=$x-\frac{1}{x}$，通过求导，判断导数符号，从而判断出f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）由f（x）解析式及x≥1，从而可得到$2m{x}^{2}-（m+\frac{1}{m}）＜0$在x∈[1，+∞）上恒成立，从而便可知m＜0，而函数g（x）=$2m{x}^{2}-（m+\frac{1}{m}）$在[1，+∞）上单调递减，从而该函数的最大值便是g（1）=$m-\frac{1}{m}$，从而m满足$m-\frac{1}{m}＜0$，结合m＜0解出该不等式即可得出实数m的取值范围；
（3）取M=$\frac{f（1）+f（3）}{2}=\frac{4}{3}$，并且可求出f（x）在（1，3）上的值域为（0，$\frac{8}{3}$），可设$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}=\frac{4}{3}$，这样解出f（x₂）=$\frac{8}{3}-f（{x}_{1}）$，从而由f（x₁）∈（0，$\frac{8}{3}$）能得到f（x₂）∈（0，$\frac{8}{3}$），这样即可说明对于任意的x₁∈（1，3），存在唯一的x₂∈（1，3），使得$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}=\frac{4}{3}$，从而由均值的定义即可得出f（x）在（1，2）上的均值．

解答 解：（1）f（1）=b=0；
∴$f（x）=x-\frac{1}{x}$，$f′（x）=1+\frac{1}{{x}^{2}}＞0$；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）f（mx）=$mx-\frac{1}{mx}$，mf（x）=$mx-\frac{m}{x}$；
∴由f（mx）+mf（x）＜0恒成立得到：$2mx-（m+\frac{1}{m}）•\frac{1}{x}＜0$恒成立；
∵x≥1；
∴$2m{x}^{2}-（m+\frac{1}{m}）＜0$恒成立；
∴m＜0；
设g（x）=$2m{x}^{2}-（m+\frac{1}{m}）$，则g（x）在[1，+∞）上单调递减；
∵x≥1；
∴$g（x）≤g（1）=m-\frac{1}{m}$；
∴$m-\frac{1}{m}＜0$；
∵m＜0，∴解得m＜-1；
∴实数m的取值范围为（-∞，-1）；
（3）由（1）知f（x）在（1，3）上是单调函数；
∴f（1）＜f（x）＜f（3）；
∴$0＜f（x）＜\frac{8}{3}$；
∴取M=$\frac{f（1）+f（3）}{2}=\frac{4}{3}$；
∴由$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}=\frac{4}{3}$得，$f（{x}_{2}）=\frac{8}{3}-f（{x}_{1}）$；
由f（x₁）∈（0，$\frac{8}{3}$），得$f（{x}_{2}）∈（0，\frac{8}{3}）$；
∴对于任意的x₁∈（1，3），存在唯一的x₂∈（1，3），使得$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}=\frac{4}{3}$；
∴f（x）在（1，3）上的均值为$\frac{4}{3}$．

点评 考查已知函数解析式求函数值的方法，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及清楚：由x趋于正无穷时二次函数值还小于0即可判断出二次项系数小于0，二次函数的单调性，根据单调性定义求函数最值，应熟悉二次函数图象，要理解函数均值的定义，知道单调函数的y和x是一对一关系．