Question

9．如图所示，CD为 Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE=$\frac{10}{3}$，连接DE交BC于点F，AC=4，BC=3．
求证：（1）△ABC∽△EDC；
（2）DF=EF．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形ABC中，由AC与BC的长，利用勾股定理求出AB的长，根据D为斜边的中点，求出AD，BD，CD的长，求出CD：CE的比值与BC：AC的比值相等，再由夹角为直角相等，即可得证；
（2）由（1）的结论得到∠B=∠CDF，根据BD=CD，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到DF=CF，同理得到CF=EF，等量代换即可得证．

解答 证明：（1）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，
根据勾股定理得：AB=5，
∵D为斜边AB的中点，
∴AD=BD=CD=$\frac{1}{2}$AB=2.5，
∴$\frac{CD}{CE}$=$\frac{2.5}{\frac{10}{3}}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{BC}{AC}$，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ABC∽△EDC；
（2）由（1）得：∠B=∠CDF，
∵BD=CD，
∴∠B=∠DCF，
∴∠CDF=∠DCF，
∴DF=CF，
由（1）得：∠A=∠CEF，∠ACD+∠DCF=90°，∠ECF+∠DCF=90°，
∴∠ACD=∠ECF，
∵AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∴∠ECF=∠CEF，
∴CF=EF，
则DF=EF．

点评 此题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．