Question

17．某高校在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动，要求每位同学至少参加一次活动．该高校2014级某班50名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示．
（1）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数不相等的概率．
（2）从该班中任意选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
（3）从该班中任意选两名学生，用η表示这两人参加活动次数之和，记“函数f（x）=x²-ηx-1在区间（3，5）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率．

Answer 1

分析 （ 1）由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为5、25和20．由此能求出从该班中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率，继而求出不等的概率；．
（2）从该班中任选两名学生，用ξ表示这两学生参加活动次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别为：0，1，2由此能求出ξ的分布列和ξ的数学期望；
（3）根据函数零点定理，可得f（3）?f（5）＜0，求出η的值，再根据古典概率求出事件A发生的概率．

解答 解：（1）从该班任取两名学生，他们参加活动的次数恰好相等的概率：
P=$\frac{{C}_{5}^{2}+{C}_{25}^{2}+{C}_{20}^{2}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{20}{49}$，故P=1-$\frac{20}{49}$=$\frac{29}{49}$．
（2）从该班中任选两名学生，用ξ表示这两学生参加活动次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别为：0，1，2，
于是P（ξ=0）=$\frac{20}{49}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{25}^{1}+{C}_{20}^{1}{C}_{25}^{1}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{25}{49}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{20}^{1}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{4}{49}$，从而ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{20}{49}$	$\frac{25}{49}$	$\frac{4}{49}$

Eξ=0×$\frac{20}{49}$+1×$\frac{25}{49}$+2×$\frac{4}{49}$=$\frac{33}{49}$．
（3）因为函数f（x）=x²-ηx-1 在区间（3，5）上有且只有一个零点，则
f（3）?f（5）＜0，即：（8-3η）（24-5η）＜0，
∴$\frac{8}{3}$＜η＜$\frac{24}{5}$，
又由于η的取值分别为：2，3，4，5，6，故η=3或4，
故所求的概率为：P（A）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{25}^{1}+{C}_{20}^{1}{C}_{5}^{1}+{C}_{25}^{2}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{3}{7}$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想．