Question

8．若f（x）是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有f（x+2）≥f（x）+2，f（x+6）≤f（x）+6，且f（1）=1，则f（2015）=2015．

Answer 1

分析 根据不等式的关系求出f（x+6）≥f（x）+6，从而得到f（x+6）=f（x）+6，即当且仅当f（x+2）=f（x）+2，然后利用累加法进行求解即可．

解答 解：∵f（x+2）≥f（x）+2，
∴f（x+6）≥f（x+4）+2≥f（x+2）+2+2≥f（x）+2+2+2=f（x）+6，
即f（x+6）≥f（x）+6，（等号同时成立时取等号）
∵f（x+6）≤f（x）+6，
∴f（x+6）=f（x）+6，当且仅当f（x+2）=f（x）+2，
即f（x+2）-f（x）=2，
∴f（3）-f（1）=2，
f（5）-f（3）=2，
f（7）-f（5）=2，
…
f（2015）-f（2013）=2，
共有1007个式子，
等式两边同时相加得：
f（2015）-f（1）=2×1007=2014，
则f（2015）=f（1）+2014=1+2014=2015，
故答案为：2015

点评 本题主要考查赋值法求抽象函数值，以及两边夹法则求值和关系式，简单的归纳推理，将x替换为x+2，x+4的转换思想，从而得到f（x+6）=f（x）+6，这是解决抽象函数的常用方法，应掌握．