Question

6．下列函数中，值域为[-2，2]的是（　　）

• A． f（x）=2^x-1
• B． f（x）=log_0.5（x+11）
• C． f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$
• D． f（x）=x²（4-x²）

Answer 1

分析 根据指数函数、对数函数的值域即可判断A、B错误，对于C，f（0）=0，x≠0时，原函数变成f（x）=$\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$，利用基本不等式即可得出这种情况下f（x）的范围．从而得出f（x）的值域为[-2，2]，这便说明C正确，对于D，带入一个x值，使该值不在[-2，2]上即可说明该函数的值域不为[-2，2]．

解答 解：A．f（x）=2^x-1，根据指数函数的值域即知该函数的值域为（0，+∞）；
B．f（x）=log_0.5（x+11），由对数函数的值域即知该函数的值域为R；
C.$f（x）=\frac{4x}{{x}^{2}+1}$，（1）x=0时，f（0）=0；
（2）x≠0时，f（x）=$\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$，若x＞0，则$x+\frac{1}{x}≥2$，∴0＜f（x）≤2；
若x＜0，则x+$\frac{1}{x}=-[（-x）+\frac{1}{-x}]≤-2$，∴-2≤f（x）＜0；
∴综上得f（x）的值域为[-2，2]；
∴该选项正确；
D．f（x）=x²（4-x²），f（1）=3∉[-2，2]，∴该函数的值域不是[-2，2]．
故选C．

点评 考查函数值域的概念，指数函数和对数函数的值域，以及基本不等式用于求函数的值域，掌握选项D在说明D中函数值域不为[-2，2]所用方法．