Question

14．已知a∈（0，$\frac{π}{2}$），且2sin²α-sinα•cosα-3cos²α=0，则$\frac{sin（α+\frac{π}{4}）}{sin2α+cos2α+1}$=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{26}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{26}}{8}$
• C． $\frac{\sqrt{13}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{13}}{8}$

Answer 1

分析 利用已知条件求出tanα的值，然后求解所求表达式的值．

解答 解：α∈（0，$\frac{π}{2}$），且2sin²α-sinαcosα-3cos²α=0，
所以2tan²α-tanα-3=0，解得tanα=$\frac{3}{2}$，tanα=-$\frac{1}{2}$（舍去）
cosα=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}$=$\sqrt{\frac{4}{13}}$，
∴$\frac{sin（α+\frac{π}{4}）}{sin2α+cos2α+1}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}（sinα+cosα）}{2sinαcosα+2co{s}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{2}}{4cosα}$=$\frac{\sqrt{2}}{4×\frac{2}{\sqrt{13}}}$=$\frac{\sqrt{26}}{8}$．
故选：B．

点评 本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．