Question

1．存在实数a，使得对函数y=g（x）定义域内的任意x，都有a＜g（x）成立，则称a为g（x）的下界，若a为所有下界中最大的数，则称a为函数g（x）的下确界．已知x，y，z∈R⁺且以x，y，z为边长可以构成三角形，则f（x，y，z）=$\frac{xy+yz+zx}{{{{（{x+y+z}）}^2}}}$的下确界为（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 运用极端法，就是三角形在趋近于无法构成时，即：x→0，并令y=z，可得原式＞$\frac{1}{4}$恒成立，再由分析法证明，注意运用配方和三角形的三边关系，可得下确界为$\frac{1}{4}$．

解答 解：运用极端法，就是三角形在趋近于无法构成时，
即：x→0，并令y=z，
所以$\frac{xy+yz+zx}{（x+y+z）^{2}}$=$\frac{1}{4}$，当然此值只是一个极限值，
原式=$\frac{xy+yz+zx}{（x+y+z）^{2}}$＞$\frac{1}{4}$恒成立，
可运用分析法证明上式．
即证（x+y+z）²＜4xy+4yz+4zx，
即有x²+y²+z²＜2xy+2yz+2zx，
即有（x-y）²+（y-z）²+（z-x）²＜x²+y²+z²，
由三角形中，|x-y|＜z，|y-z|＜x，|z-x|＜y，
均为（x-y）²＜z²，（y-z）²＜x²，（z-x）²＜y²．
则上式成立．
故下确界是$\frac{1}{4}$．
故选B．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查三角形的三边的关系和不等式的证明，属于中档题．