Question

1．已知$\overrightarrow{a}$=（1，-2，-2），$\overrightarrow{b}$=（1，4，1）．
（1）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角；
（2）若$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow{b}$与-2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$平行，求实数λ的值；
（3）若$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow{b}$与-2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量夹角公式即可得出；
（2）$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow{b}$与-2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$平行，可得存在实数k使得$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow{b}$=k（-2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），利用向量相等即可得出；
（3）由于$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow{b}$与-2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直，可得（$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow{b}$）•（-2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1-8-2=-9，$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{1+4+4}$=3，$|\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}+{1}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-9}{3×3\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=135°．
（2）$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow{b}$=（1，-2，-2）+λ（1，4，1）=（1+λ，-2+4λ，-2+λ）．
-2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=-2（1，-2，-2）+（1，4，1）=（-1，8，5）．
∵$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow{b}$与-2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$平行，
∴存在实数k使得$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow{b}$=k（-2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+λ=-k}\\{-2+4λ=8k}\\{-2+λ=5k}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=-\frac{1}{2}}\\{k=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，∴$λ=-\frac{1}{2}$．
（3）∵$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow{b}$与-2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow{b}$）•（-2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=-（1+λ）+8（-2+4λ）+5（-2+λ）=0，
解得λ=$\frac{7}{12}$．

点评 本题考查了向量的夹角公式、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．