Question

11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R都有f（x+4）=f（x）+2f（2），且f（-1）=2，那么f（2015）=2．

Answer 1

分析 根据偶函数的定义，f（x+4）=f（x）+2f（2），令x=-2，求出f（2）=0，从而函数f（x）是周期为4的函数，结合函数的奇偶性和周期性的关系进行转化求解即可．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+2f（2），
∴令x=-2，则f（2）=f（-2）+2f（2）=3f（2），
∴f（2）=0，
∴f（x+4）=f（x）+2f（2）等价为f（x+4）=f（x），
即函数f（x）是最小正周期为4的函数，
∴f（2015）=f（4×504-1）=f（-1）=2，
故答案为：2

点评 本题主要考查函数的周期性及应用，函数的奇偶性的定义和运用，考查解决抽象函数常用的方法：赋值法，正确赋值是解题的关键．