Question

18．求函数y=x²+$\frac{4（x-4）^{2}}{（x-2）^{2}}$的最小值．

Answer 1

分析 将x=（x-2）+2，x-4=（x-2）-2代入函数式，展开，再令t=x-2-$\frac{4}{x-2}$，则y=t²+4t+16，配方，由二次函数的最值求法，可得最小值．

解答 解：函数y=x²+$\frac{4（x-4）^{2}}{（x-2）^{2}}$
=（x-2）²+4（x-2）+4+$\frac{4（x-2）^{2}+16-16（x-2）}{（x-2）^{2}}$
=（x-2）²+$\frac{16}{（x-2）^{2}}$+4（x-2）-$\frac{16}{x-2}$+8
令t=x-2-$\frac{4}{x-2}$，则
y=t²+4t+16=（t+2）²+12，
当t=-2即x=$\frac{4}{x-2}$，即有x=1±$\sqrt{5}$时，取得最小值，
且为12．

点评 本题考查函数的最值的求法，考查换元法和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．