Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C₁和圆弧C₂相接而成，两相接点M、N均在直线x＝5上．圆弧C₁的圆心是坐标原点O，半径为r₁＝13；圆弧C₂过点A(29，0)．

(1) 求圆弧C₂所在圆的方程；

(2) 曲线C上是否存在点P，满足PA＝PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；

(3) 已知直线l：x－my－14＝0与曲线C交于E、F两点，当EF＝33时，求坐标原点O到直线l的距离．

Answer 1

解：(1) 由题意得，圆弧C₁所在圆的方程为x²＋y²＝169.令x＝5，解得M(5，12)，N(5，－12)，又C₂过点A(29，0)，设圆弧C₂所在圆方程为x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，

则

所以圆弧C₂所在圆的方程为x²＋y²－28x－29＝0.

(2) 假设存在这样的点P(x，y)，则由PA＝PO，得(x－29)²＋y²＝30(x²＋y²)，即x²＋y²＋2x－29＝0.

由

解得x＝－70(舍去)；

由

解得x＝0(舍去)．所以这样的点P不存在．

(3) 因为圆弧C₁、C₂所在圆的半径分别为r₁＝13，r₂＝15，因为EF>2r₁，EF>2r₂，所以E、F两点分别在两个圆弧上．设点O到直线l的距离为d，因为直线l恒过圆弧C₂所在圆的圆心(14，0)，所以EF＝15＋

即＝18，解得d²＝，所以点O到直线l的距离为.