Question

直线y=kx分抛物线y=x-x²与x轴所围图形为面积相等的两部分，则直线与抛物线交点的横坐标为（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  2

  2

• C、

  3	1 2

• D、

  1

  2

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：如图所示，令x-x²=0，解得x=0，1．联立

y=kx y=x-x2

，解得O（0，0），B（1-k，k-k²）．由于直线y=kx分抛物线y=x-x²与x轴所围图形为面积相等的两部分，
利用微积分基本定理即可得出：

∫

1 0

(x-x2)dx=2

∫

1-k 0

(x-x2-kx)dx，解出即可．

解答： 解：如图所示，
令x-x²=0，解得x=0，1．
联立

y=kx y=x-x2

，
解得O（0，0），B（1-k，k-k²）．
∵直线y=kx分抛物线y=x-x²与x轴所围图形为面积相等的两部分，
∴

∫

1 0

(x-x2)dx=2

∫

1-k 0

(x-x2-kx)dx，
∴(

1

2

x2-

1

3

x3)

|

1 0

=2(

1

2

x2-

1

3

x3-

1

2

kx2)dx，
化为

1

6

=2[

(1-k)3

3

-

1

2

(1-k)3]，
∴1-k=

3	1 2

．
∴直线与抛物线交点的横坐标为

3	1 2

．
故选：C．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．