Question

（2012•广东模拟）已知函数f(x)=

x2

2

-(1+2a)x+

4a+1

2

ln(2x+1)．
（1）设a=1时，求函数f（x）极大值和极小值；
（2）a∈R时讨论函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）a=1，f（x）=

x2

2

-3x+

5

2

ln（2x+1），x＞-

1

2

，可求得f′（x）=

(2x-1)(x-2)

2x+1

，通过将x、f（x）、f′（x）的变化情况列表可求得函数f（x）极大值和极小值；
（2）求得f′（x）=

(2x-1)(x-2a)

2x+1

，通过比较2a与-

1

2

，2a与

1

2

的大小，分类讨论，利用函数单调性与极值之间的关系即可求得函数f（x）的单调区间．

解答：解：（1）∵a=1，
∴f（x）=

x2

2

-3x+

5

2

ln（2x+1），x＞-

1

2

，
f'（x）=x-3+

5

2x+1

=

(2x+1)(x-3)+5

2x+1

=

(2x-1)(x-2)

2x+1

，…（1分）
令f'（x）=0，则x=

1

2

或x=2…（2分）
x、f（x）、f′（x）的变化情况如下表：

x	（- 1 2 ， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大	↙	极小	↗

…（4分）
由上表可得：f(x)极大=f(

1

2

)=

5

2

ln2-

11

8

，f(x)极小=f(2)=

5

2

ln5-4…（5分）
（2）f'（x）=x-（1+2a）+

4a+1

2x+1

=

(2x+1)(x-1-2)+4a+1

2x+1

=

(2x-1)(x-2a)

2x+1

令f'（x）=0，则x=

1

2

或x=2a…（6分）
i、当2a＞

1

2

，即a＞

1

4

时，

x	（- 1 2 ， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，2a）	2a	（2a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↙		↗

所以f（x）的增区间为（-

1

2

，

1

2

）和（2a，+∞），减区间为（

1

2

，2a）…（8分）
ii、当2a=

1

2

，即a=

1

4

时，f'（x）=

(2x-1)2

2x+1

≥0在（-

1

2

，+∞）上恒成立，
所以f（x）的增区间为（-

1

2

，+∞）…（10分）
iii、当-

1

2

＜2a＜

1

2

，即-

1

4

＜a＜

1

4

时，

x	（- 1 2 ，2a）	2a	（2a， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↙		↗

所以f（x）的增区间为（-

1

2

，2a）和（

1

2

，+∞），减区间为（2a，

1

2

）…（12分）
iv、当2a≤-

1

2

，即a≤-

1

4

时，

x	（- 1 2 ， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↙		↗

所以f（x）的增区间为（

1

2

，+∞），减区间为（-

1

2

，

1

2

）…（14分）
综上述：a≤-

1

4

时，f（x）的增区间为（

1

2

，+∞），减区间为（-

1

2

，

1

2

）-

1

4

＜a＜

1

4

时，f（x）的增区间为（-

1

2

，2a）和（

1

2

，+∞），减区间为（2a，

1

2

）a=

1

4

时，f（x）的增区间为（-

1

2

，+∞）a＞

1

4

时，f（x）的增区间为（-

1

2

，

1

2

）和（2a，+∞），减区间为（

1

2

，2a）
说明：如果前面过程完整，最后没有综上述，可不扣分

点评：本题考查利用导数研究函数的极值与单调性，着重考查求函数极值的基本步骤，突出化归思想与分类讨论思想的考查，属于难题．