【题目】设椭圆(
)的左右顶点为
,上下顶点为
,菱形
的内切圆
的半径为
,椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆上关于原点对称的两点,椭圆上一点
满足
,试判断直线
与圆
的位置关系,并证明你的结论.
【答案】(1) (2)直线
、
与圆
相切,证明见解析
【解析】
(1)由离心率得,用两种方法表示出菱形
的面积可求得
,得椭圆方程;
(2)设,
.当直线
的斜率存在时,设直线
的方程为
,代入椭圆方程,用韦达定理得
,利用
,即
得
的关系,求出圆心
到直线
的距离可得直线与圆的位置关系.直线
的斜率不存在时,直接计算可得,由对称性
的结论也可得.
(1)设椭圆的半焦距为.由椭圆的离心率为
知,
.
设圆的半径为
,则
,
∴,解得
,∴
,
∴椭圆的方程为
(2)∵关于原点对称,
,∴
.
设,
.
当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
.
由直线和椭圆方程联立得,即
,
∴.
∵,
,
∴
,
∴,
,
∴圆的圆心O到直线
的距离为
,∴直线
与圆
相切.
当直线的斜率不存在时,依题意得
,
.
由得
,∴
,结合
得
,
∴直线到原点O的距离都是
,
∴直线与圆
也相切.
同理可得,直线与圆
也相切.
∴直线、
与圆
相切
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【题目】某农场为了提高某品种水稻的产量,进行良种优选,在同一试验田中分两块种植了甲乙两种水稻.为了比较甲乙两种水稻的产量,现从甲乙两种水稻中各随机选取20株成熟水稻.根据每株水稻颗粒的重量(单位:克)绘制了如下茎叶图:
(1)根据茎叶图判断哪种水稻的产量更高?并说明理由;
(2)求40株水稻颗粒重量的中位数,并将重量超过
和不超过
的水稻株数填入下面的列联表:
超过 | 不超过 | |
甲种水稻 | ||
乙种水稻 |
(3)根据(2)中的列联表,能否有的把握认为两种水稻的产量有差异?附:
;
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,ADC=
PAB=90°,BC=CD=
AD.E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.
(I)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;
(II)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
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【题目】某超市为了了解“微信支付”与“支付宝支付”的情况(“微信支付”与“支付宝支付”统称为“移动支付”),对消费者在该超市在2019年1-6月的支付方式进行统计,得到如图所示的折线图,则下列判断正确的是( )
①这6个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多
②这6个月中使用“微信支付”的消费总额比使用“支付宝支付”的消费总额大
③这6个月中4月份平均每天使用“移动支付”的次数最多
④2月份平均每天使用“移动支付”比5月份平均每天使用“移动支付”的次数多
A.①③B.①②③C.①③④D.①②③④
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【题目】设椭圆(
)的左右焦点分别为
,椭圆的上顶点为点
,点
为椭圆
上一点,且
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若,过点
的直线交椭圆于
两点,求线段
的中点
的轨迹方程.
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【题目】在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=1,AA1=2,E,F,G分别是棱AA1,AC和A1C1的中点,以为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.
(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值;
(2)求二面角F-BC1-C的余弦值.
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【题目】在中,
,
分别为
,
的中点,
,如图1.以
为折痕将
折起,使点
到达点
的位置,如图2.
如图1 如图2
(1)证明:平面平面
;
(2)若平面平面
,求直线
与平面
所成角的正弦值。
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