【题目】已知函数,则函数
的零点个数为( )(
是自然对数的底数)
A.6B.5C.4D.3
【答案】B
【解析】
利用导数研究函数的性质,如单调性,函数值的变化趋势和,函数的极值.再研究方程
的解的个数,即直线
与函数
的公共点的的取值,从而利用函数
的性质求得
零点个数.
时,
是增函数,
,
时,
,
,显然
,
由,
作出和
的图象,如图,
是增函数,
在
是减函数
它们有一个交点,设交点横坐标为,易得
,
,
在时,
,
,
时,
,
,
所以在
上递减,在
上递增,
是
的极小值,也是在
时的最小值.
,
,
,即
,
,
时,
,
时,
.作出
的大致图象,作直线
,如图,
时
与
的图象有两个交点,即
有两个解
,
.
时,
,
,由
得
,而
时,
,
,所以直线
与
在
处相切.即
时方程
有一个解
.
,令
,则
,由上讨论知方程
有三个解:
(
)
而有一个解,
和
都有两个解,所以
有5个解,
即函数有5个零点.
故选:B.
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【题目】若动点到两点
的距离之比为
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)若为椭圆
上一点,过点
作曲线
的切线与椭圆
交于另一点
,求
面积的取值范围(
为坐标原点).
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【题目】如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图2所示的几何体.
若AD=1,二面角CABD的平面角的正切值为,求二面角BADE的余弦值.
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【题目】已知函数的定义域为
且满足
,当
时,
.
(1)判断在
上的单调性并加以证明;
(2)若方程有实数根
,则称
为函数
的一个不动点,设正数
为函数
的一个不动点,且
,求
的取值范围.
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【题目】设椭圆(
)的左右顶点为
,上下顶点为
,菱形
的内切圆
的半径为
,椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆上关于原点对称的两点,椭圆上一点
满足
,试判断直线
与圆
的位置关系,并证明你的结论.
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【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的方程为
.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设曲线与直线
交于点
,点
的坐标为(3,1),求
.
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【题目】如图,以正四棱锥VABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz,其中Ox∥BC,Oy∥AB,E为VC的中点.正四棱锥的底面边长为2a,高为h,且有cos〈,
〉=-
.
(1)求的值;
(2)求二面角B-VC-D的余弦值.
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【题目】已知四面体有五条棱长为3,且外接球半径为2.动点P在四面体的内部或表面,P到四个面的距离之和记为s.已知动点P在,
两处时,s分别取得最小值和最大值,则线段
长度的最小值为______.
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