【题目】已知四面体有五条棱长为3,且外接球半径为2.动点P在四面体的内部或表面,P到四个面的距离之和记为s.已知动点P在,
两处时,s分别取得最小值和最大值,则线段
长度的最小值为______.
【答案】
【解析】
设四面体为,其中
,取
的中点分别为
,求出
的长,将点
到四个面的距离之和记为s,转化为到其中两个面的距离,利用等体积的方法分析出距离之和的最值,从而得到线段
长度的最小值为
,
上两点间的距离的最小值,得到答案.
四面体为,其中
,设
.
取的中点分别为
,连接
,如图.
在等腰三角形中,有
.
所以平面
,又
为
的中点.
则四面体的外接球的球心
一定在平面
上.
同理可得四面体的外接球的球心
一定在平面
上.
所以四面体的外接球的球心
一定在
上.
连接,设
.
在直角三角形中,
.
在三角形中,
.
在直角三角形中,
.
所以长为定值,
的长为定值.
根据条件有,设为
,
,设为
设点到四个面
,
,
,
的距离分别为
.
设四面体的体积为
(为定值)
由等体积法有:
所以
所以
当点在
上时,
最小.
当点远离
时,
的值增大,
由等体积法可得当点在
上时,
的值相等,且此时
的值最大.
所以当点在
或
上时,
取得最值.
故线段长度的最小值为
,
上两点间的距离的最小值.
由上可知,.
所以,
上两点间的距离的最小值为
.
故答案为:.
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【题目】某地实行垃圾分类后,政府决定为三个小区建造一座垃圾处理站M,集中处理三个小区的湿垃圾.已知
在
的正西方向,
在
的北偏东
方向,
在
的北偏西
方向,且在
的北偏西
方向,小区
与
相距
与
相距
.
(1)求垃圾处理站与小区
之间的距离;
(2)假设有大、小两种运输车,车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶,一辆大车的行车费用为每公里元,一辆小车的行车费用为每公里
元(其中
为满足
是
内的正整数) .现有两种运输湿垃圾的方案:
方案1:只用一辆大车运输,从出发,依次经
再由
返回到
;
方案2:先用两辆小车分别从运送到
,然后并各自返回到
,一辆大车从
直接到
再返回到
.试比较哪种方案更合算?请说明理由. 结果精确到小数点后两位
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【题目】如图所示,将方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同,称他们的公共边为“分割边”,则分割边条数的最小值为( )
A.33B.56C.64D.78
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【题目】分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支,其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形,挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷,最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示),按上述操作7次后,“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】在中,
,
分别为
,
的中点,
,如图1.以
为折痕将
折起,使点
到达点
的位置,如图2.
如图1 如图2
(1)证明:平面平面
;
(2)若平面平面
,求直线
与平面
所成角的正弦值。
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【题目】设数据是郑州市普通职工
个人的年收入,若这
个数据的中位数为
,平均数为
,方差为
,如果再加上世界首富的年收入
,则这
个数据中,下列说法正确的是( )
A.年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变
B.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大
C.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变
D.年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变
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