【题目】如图所示,将方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同,称他们的公共边为“分割边”,则分割边条数的最小值为( )
A.33B.56C.64D.78
【答案】B
【解析】
记分隔边的条数为,首先将方格按照按图分三个区域,分别染成三种颜色,粗线上均为分隔边,将方格的行从上至下依次记为
,列从左至右依次记为
,行
中方格出现的颜色数记为
,列
中方格出现的颜色个数记为
,三种颜色分别记为
,对于一种颜色
,设
为含有
色方格的行数与列数之和,定义当
行含有
色方格时,
,否则
,类似的定义
,计算得到
,再证明
,再证明对任意
均有
,最后求出分隔边条数的最小值.
记分隔边的条数为,首先将方格按照按图分三个区域,分别染成三种颜色,粗线上均为分隔边,
此时共有56条分隔边,即,
其次证明:,
将将方格的行从上至下依次记为,列从左至右依次记为
,行
中方格出现的颜色数记为
,列
中方格出现的颜色个数记为
,三种颜色分别记为
,对于一种颜色
,设
为含有
色方格的行数与列数之和,定义当
行含有
色方格时,
,否则
,类似的定义
,
所以,
由于染色的格有
个,设含有
色方格的行有
个,列有
个,则
色的方格一定再这个
行和
列的交叉方格中,
从而,
所以①,
由于在行中有
种颜色的方格,于是至少有
条分隔边,
类似的,在列中有
种颜色的方格,于是至少有
条分隔边,
则②
③
下面分两种情形讨论,
(1)有一行或一列所有方格同色,
不妨设有一行均为色,则方格的33列均含有
的方格,又
色的方格有363个,故至少有11行有
色方格,于是
④
由①③④得
,
(2)没有一行也没有一列的所有方格同色,
则对任意均有
,
从而,由式②知:
,
综上,分隔边条数的最小值为56.
故选:B.
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【题目】已知函数的定义域为
且满足
,当
时,
.
(1)判断在
上的单调性并加以证明;
(2)若方程有实数根
,则称
为函数
的一个不动点,设正数
为函数
的一个不动点,且
,求
的取值范围.
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【题目】如图,以正四棱锥VABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz,其中Ox∥BC,Oy∥AB,E为VC的中点.正四棱锥的底面边长为2a,高为h,且有cos〈,
〉=-
.
(1)求的值;
(2)求二面角B-VC-D的余弦值.
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【题目】已知双曲线:
的焦距为
,直线
(
)与
交于两个不同的点
、
,且
时直线
与
的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
(1)求双曲线的方程;
(2)若坐标原点在以线段
为直径的圆的内部,求实数
的取值范围;
(3)设、
分别是
的左、右两顶点,线段
的垂直平分线交直线
于点
,交直线
于点
,求证:线段
在
轴上的射影长为定值.
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【题目】A地的天气预报显示,A地在今后的三天中,每一天有强浓雾的概率为,现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率,先利用计算器产生
之间整数值的随机数,并用0,1,2,3,4,5,6表示没有强浓雾,用7,8,9表示有强浓雾,再以每3个随机数作为一组,代表三天的天气情况,产生了如下20组随机数:
402 978 191 925 273 842 812 479 569 683
231 357 394 027 506 588 730 113 537 779
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为
A. B.
C.
D.
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【题目】已知首项为的数列
各项均为正数,且
,
.
(1)若数列的通项
满足
,且
,求数列
的前n项和为
;
(2)若数列的通项
满足
,前n项和为
,当数列
是等差数列时,对任意的
,均存在
,使得
成立,求满足条件的所有整数
构成的集合.
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【题目】已知四面体有五条棱长为3,且外接球半径为2.动点P在四面体的内部或表面,P到四个面的距离之和记为s.已知动点P在,
两处时,s分别取得最小值和最大值,则线段
长度的最小值为______.
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【题目】给定整数(
),设集合
,记集合
.
(1)若,求集合
;
(2)若构成以
为首项,
(
)为公差的等差数列,求证:集合
中的元素个数为
;
(3)若构成以
为首项,
为公比的等比数列,求集合
中元素的个数及所有元素之和.
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