【题目】已知双曲线:的焦距为,直线()与交于两个不同的点、,且时直线与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
(1)求双曲线的方程;
(2)若坐标原点在以线段为直径的圆的内部,求实数的取值范围;
(3)设、分别是的左、右两顶点,线段的垂直平分线交直线于点,交直线于点,求证:线段在轴上的射影长为定值.
【答案】(1);(2);(3)证明见解析
【解析】
(1)求得双曲线的,由等边三角形的性质可得,的方程,结合,,的关系求得,,进而得到双曲线的方程;
(2)设,,,,联立直线和,应用韦达定理和弦长公式,设的中点为,求得的坐标,由题意可得,应用两点的距离公式,解不等式可得所求范围;
(3)求得,的坐标和的坐标,求得的垂直平分线方程和的方程,联立解得的坐标,求出,即可得证.
解:(1)当直线与的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形,由根据双曲线的性质得,,又焦距为,则,
解得,,则所求双曲线的方程为.
(2)设,,由,得,
则,,且,
又坐标原点在以线段为直径的圆内,则,即,
即,即,
则, 即,则或,
即实数的取值范围.
(3)线段在轴上的射影长是. 设,由(1)得点,
又点是线段的中点,则点,
直线的斜率为,直线的斜率为 ,又,
则直线的方程为,即,
又直线的方程为,联立方程,
消去化简整理,得,又,
代入消去,得,
即,则,
即点的横坐标为,
则. 故线段在轴上的射影长为定值.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,ADC=PAB=90°,BC=CD=AD.E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.
(I)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;
(II)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=1,AA1=2,E,F,G分别是棱AA1,AC和A1C1的中点,以为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.
(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值;
(2)求二面角F-BC1-C的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某地实行垃圾分类后,政府决定为三个小区建造一座垃圾处理站M,集中处理三个小区的湿垃圾.已知在的正西方向,在的北偏东方向,在的北偏西方向,且在的北偏西方向,小区与相距与相距.
(1)求垃圾处理站与小区之间的距离;
(2)假设有大、小两种运输车,车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶,一辆大车的行车费用为每公里元,一辆小车的行车费用为每公里元(其中为满足是内的正整数) .现有两种运输湿垃圾的方案:
方案1:只用一辆大车运输,从出发,依次经再由返回到;
方案2:先用两辆小车分别从运送到,然后并各自返回到,一辆大车从直接到再返回到.试比较哪种方案更合算?请说明理由. 结果精确到小数点后两位
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线C:()的焦点F到准线l的距离为2,直线过点F且与抛物线交于M、N两点,直线过坐标原点O及点M且与l交于点P,点Q在线段上.
(1)求直线的斜率;
(2)若,,成等差数列,求点Q的轨迹方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,将方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同,称他们的公共边为“分割边”,则分割边条数的最小值为( )
A.33B.56C.64D.78
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在中,,分别为,的中点,,如图1.以为折痕将折起,使点到达点的位置,如图2.
如图1 如图2
(1)证明:平面平面;
(2)若平面平面,求直线与平面所成角的正弦值。
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知动点P到点的距离与它到直线l:的距离d的比值为,设动点P形成的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)过点的直线与曲线C交于A,B两点,设,,过A点作,垂足为,过B点作,垂足为,求的取值范围.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com