Question

【题目】已知抛物线C：（）的焦点F到准线l的距离为2，直线过点F且与抛物线交于M、N两点，直线过坐标原点O及点M且与l交于点P，点Q在线段上.

(1)求直线的斜率；

(2)若，，成等差数列，求点Q的轨迹方程.

Answer 1

【答案】(1)0；(2)（）.

【解析】

(1)先求抛物线方程，再设直线方程以及M,N坐标，解得P点坐标，根据斜率公式化简直线的斜率，最后联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入化简即得结果；

(2) 设，根据等差中项性质以及弦长公式化简条件得，再根据（1）中韦达定理化简右边式子，最后根据代入化简得点Q的轨迹方程.

(1)依题意，可得，所以抛物线C：.

设直线：，联立，得.

设，，易知，，则，，

直线：.

因为准线l：，故.

故直线的斜率为.

(2)设（）.

由(1)可得，，.

由题可知，

得.

因为，所以

化简可得（）.

故点Q的轨迹方程为（）.