【题目】已知函数的定义域为
且满足
,当
时,
.
(1)判断在
上的单调性并加以证明;
(2)若方程有实数根
,则称
为函数
的一个不动点,设正数
为函数
的一个不动点,且
,求
的取值范围.
【答案】(1) 单调递减. 见解析 (2) (或
).
【解析】
(1)根据已知条件,构造函数
,可证
在
上单调递减.,再通过
的奇偶性,可得出
在
上单调递减,即可判断
在
上的单调性;
(2)转为为(1)中的
两个函数值,利用
的单调性,求出
的范围,再根据不动点的定义转化为
在
有解,,分离参数
,转化为研究
与函数
在
有交点,通过两次求导得出
在
单调性,即可求出在
的范围.
(1)令,则
,
∵当时,
,∴
,
∴在
上单调递减,又∵
,
∴,
∴为奇函数,∴
在
上单调递减.
又∵在
上单调递减,
∴在
上单调递减.
(2)由(1)可知,在
上单调递减.
∵,∴
,
∴,故
.
∵正数为函数
上的一个不动点,∴方程
在
上有解,
即方程在
上有解,
整理得:.
令,
,
设,
,则
,
∴在
上单调递增,又
,
∴,∴
,
∴在
上单调递减,
∴(或
),
即的取值范围是
(或
).
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线E:(
)的焦点为F,圆C:
,点
为抛物线上一动点.当
时,
的面积为
.
(1)求抛物线E的方程;
(2)若,过点P作圆C的两条切线分别交y轴于M,N两点,求
面积的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=|2x﹣a|,g(x)=x+1.
(1)若a=1,求不等式f(x)≤1的解集;
(2)对任意的x∈R,f(x)+|g(x)|≥a2+2a(a>0)恒成立,求实数a的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,已知四边形
是边长为
的正方形,点
在底面
上的射影为底面
的中心点
,点
在棱
上,且
的面积为1.
(1)若点是
的中点,求证:平面
平面
;
(2)在棱上是否存在一点
使得二面角
的余弦值为
?若存在,求出点
的位置;若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】记是定义在
上且满足如下条件的函数
组成的集合:
①对任意的,都有
;
②存在常数,使得对任意的
、
,都有
.
(1)设函数,
,判断函数
是否属于
?并说明理由;
(2)已知函数,求证:方程
的解至多一个;
(3)设函数,
,且
,试求实数
的取值范围.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com