【题目】已知函数在处取得极小值.
(1)求实数的值;
(2)若函数存在极大值与极小值,且函数有两个零点,求实数的取值范围.(参考数据:,)
【答案】(1)或(2)
【解析】
(1)根据极值的定义,求出或,再对的两种取值分别进行验证;
(2)由第(1)问先确定,得到,利用导数研究函数的单调性,即函数在上单调递增,在上单调递减,再结合零点存在定理的条件,得到参数的取值范围.
解:(1)由题意得.
因为函数在处取得极小值,
依题意知,解得或.
当时,,若,,则函数单调递减,
若,,则函数单调递增,
所以,当时,取得极小值,无极大值,符合题意.
当时,,若或,,则函数单调递增;
若,,则函数单调递减,所以函数在处取得极小值,处取得极大值,符合题意,
综上,实数或.
(2)因为函数存在极大值与极小值,所以由(1)知,.
所以,.
当时,,故函数在上单调递增,
当时,令,则,所以当或时,,单调递增,
当时,,单调递减,
因为,
,所以当时,,故在上单调递减.
因为函数在上有两个零点,所以,所以.
取,;
取,,
所以,实数的取值范围是.
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【题目】如图,以正四棱锥VABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz,其中Ox∥BC,Oy∥AB,E为VC的中点.正四棱锥的底面边长为2a,高为h,且有cos〈,〉=-.
(1)求的值;
(2)求二面角B-VC-D的余弦值.
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【题目】已知四面体有五条棱长为3,且外接球半径为2.动点P在四面体的内部或表面,P到四个面的距离之和记为s.已知动点P在,两处时,s分别取得最小值和最大值,则线段长度的最小值为______.
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【题目】给定整数(),设集合,记集合.
(1)若,求集合;
(2)若构成以为首项,()为公差的等差数列,求证:集合中的元素个数为;
(3)若构成以为首项,为公比的等比数列,求集合中元素的个数及所有元素之和.
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【题目】已知,为椭圆E:的左、右焦点,过点的直线l与椭圆E有且只有一个交点T.
(1)求面积的取值范围.
(2)若有一束光线从点射出,射在直线l上的T点上,经过直线l反射后,试问反射光线是否恒过定点?若是,请求出该定点;若否,请说明理由.
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【题目】我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节,每个季节有六个节气,如夏季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务,现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的六幅彩绘,在制签及抽签公平的前提下,甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务的概率为_________.
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【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,底面ABC,,H为PC的中点,M为AH的中点,.
(1)求PM与平面AHB成角的正弦值;
(2)在线段PB上是否存在点N,使得平面ABC.若存在,请说明点N的位置,若不存在,请说明理由.
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