【题目】如图，在三棱锥P-ABC中，
底面ABC，
，H为PC的中点，M为AH的中点
，
.
（1）求PM与平面AHB成角的正弦值；
（2）在线段PB上是否存在点N，使得
平面ABC.若存在，请说明点N的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，N靠近点B的四等分点
【解析】
（1）在平面ABC中，过点A作
，以A为原点，建立空间直角坐标系，先求平面
的法向量
，再根据公式
求解；
（2）利用
，表示点
的坐标，再利用
，求点的坐标.
（1）解：在平面ABC中，过点A作，
因为
平面PAC，所以
平面PAC，
由
底面ABC，得PA，AC，AD两两垂直，
所以以A为原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，
则
，
设平面AHB的法向量为
，
因为
，
.
由
，得
，
令
，得
.
设PM与平面AHB成角
，因为
，
所以
即
.
（2）解：因为
，设，
所以
，又因为，
所以
.
因为
平面ABC，平面ABC的法向量
，
所以
，解得
.
即点N是靠近点B的四等分点.
状元坊全程突破导练测系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a＝2,c＝3，又知bsinA＝acos（B
）．
（Ⅰ）求角B的大小、b边的长：
（Ⅱ）求sin（2A﹣B）的值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
：
的离心率
，
是椭圆上的动点，且点到椭圆焦点的距离的最小值为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点
的直线
交椭圆于
，
两点，当
时，求
面积的最大值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量
（单位：
）和与它“相近”的株数
具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过
），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 15 | 12 | 11 | 9 | 8 |
（1）求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数的回归方程；
（2）有一种植户准备种植该种水果500株，且每株与它“相近”的株数都为
，计划收获后能全部售出，价格为10元
，如果收入（收入=产量×价格）不低于25000元，则
的最大值是多少？
（3）该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点（直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为，已知该梯形地块周边无其他树木影响，若从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的产量的分布列与数学期望.
附：回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，几何体
中，
，
均为边长为2的正三角形，且平面
平面
，四边形
为正方形.
（1）若平面
平面
，求证:平面
平面
；
（2）若二面角
为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系
中，已知抛物线C：
（
）的焦点F在直线
上，平行于x轴的两条直线
，
分别交抛物线C于A，B两点，交该抛物线的准线于D，E两点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若F在线段
上，P是
的中点，证明：
.
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【题目】某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：
年份x | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
储蓄存款y（千亿元） | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理， 
得到下表2：
时间代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
z | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
（Ⅰ）求z关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y关于x的回归方程；
（Ⅲ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？
（附：对于线性回归方程
，其中
）
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