Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线C：（）的焦点F在直线上，平行于x轴的两条直线，分别交抛物线C于A，B两点，交该抛物线的准线于D，E两点.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若F在线段上，P是的中点，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）根据抛物线的焦点在直线上，可求得的值，从而求得抛物线的方程；

（2）法一：设直线，的方程分别为和且，，，可得，，，的坐标，进而可得直线的方程，根据在直线上，可得，再分别求得，，即可得证；法二：设，，则，根据直线的斜率不为0，设出直线的方程为，联立直线和抛物线的方程，结合韦达定理，分别求出，，化简，即可得证.

（1）抛物线C的焦点坐标为，且该点在直线上，

所以，解得，故所求抛物线C的方程为

（2）法一：由点F在线段上，可设直线，的方程分别为和且，，，则，，，.

∴直线的方程为，即.

又点在线段上，∴.

∵P是的中点，∴

∴，.

由于，不重合，所以

法二：设，，则

当直线的斜率为0时，不符合题意，故可设直线的方程为

联立直线和抛物线的方程，得

又，为该方程两根，所以，，，.

，

由于，不重合，所以