【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)当时,求曲线
在
处的切线方程;
(Ⅱ)求函数在
上的最小值;
(Ⅲ)若函数,当
时,
的最大值为
,求证:
.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由题,
所以故
,
,代入点斜式可得曲线
在
处的切线方程;
(Ⅱ)由题
(1)当时,
在
上单调递增. 则函数
在
上的最小值是
(2)当时,令
,即
,令
,即
(i)当,即
时,
在
上单调递增,
所以在
上的最小值是
(ii)当,即
时,由
的单调性可得
在
上的最小值是
(iii)当,即
时,
在
上单调递减,
在
上的最小值是
(Ⅲ)当
时,
令,则
是单调递减函数.
因为,
,
所以在上存在
,使得
,即
讨论可得在
上单调递增,在
上单调递减.
所以当时,
取得最大值是
因为,所以
由此可证
试题解析:(Ⅰ)因为函数,且
,
所以,
所以
所以,
所以曲线在处的切线方程是
,即
(Ⅱ)因为函数,所以
(1)当时,
,所以
在
上单调递增.
所以函数在
上的最小值是
(2)当时,令
,即
,所以
令,即
,所以
(i)当,即
时,
在
上单调递增,
所以在
上的最小值是
(ii)当,即
时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
所以在
上的最小值是
(iii)当,即
时,
在
上单调递减,
所以在
上的最小值是
综上所述,当时,
在
上的最小值是
当时,
在
上的最小值是
当时,
在
上的最小值是
(Ⅲ)因为函数,所以
所以当时,
令,所以
是单调递减函数.
因为,
,
所以在上存在
,使得
,即
所以当时,
;当
时,
即当时,
;当
时,
所以在
上单调递增,在
上单调递减.
所以当时,
取得最大值是
因为,所以
因为,所以
所以
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【题目】已知数列满足:
,
,
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前
项和为
,且满足
,试确定
的值,使得数列
为等差数列;
(3)将数列中的部分项按原来顺序构成新数列
,且
,求证:存在无数个满足条件的无穷等比数列
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了解学生的身体状况,某校随机抽取了一批学生测量体重,经统计,这批学生的体重数据(单位:千克)全部介于至
之间,将数据分成以下
组,第一组
,第二组
,第三组
,第四组,第五组
,得到如图所示的频率分布直方图,现采用分层抽样的方法,从第
、
、
组中随机抽取
名学生做初检.
(Ⅰ)求每组抽取的学生人数.
(Ⅱ)若从名学生中再次随机抽取
名学生进行复检,求这
名学生不在同一组的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知曲线,
,则下列说法正确的是( )
A. 把上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到曲线
B. 把上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到曲线
C. 把曲线向右平移
个单位长度,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的
,纵坐标不变,得到曲线
D. 把曲线向右平移
个单位长度,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的
,纵坐标不变,得到曲线
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【题目】【选修4-4:坐标系与参数方程】
极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为
轴的正半轴,两神坐标系中的长度单位相同.已知曲线
的极坐标方程为
,
.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)在曲线上求一点,使它到直线
:
(
为参数)的距离最短,写出
点的直角坐标.
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别是
,椭圆C的上顶点到直线
的距离为
,过
且垂直于x轴的直线与椭圆C相交于M,N两点,
且|MN|=1。
(I)求椭圆的方程;
(II)过点的直线与椭圆C相交于P,Q两点,点
),且
,求直线
的方程。
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