【题目】已知为函数
的导函数,且
.
(1)判断函数的单调性;
(2)若,讨论函数
零点的个数.
【答案】(1) 时,
单调递减,
时,
单调递增(2) 当
时,
有一个零点;当
和
或
时,
有两个零点,当
且
,
由三个零点.
【解析】试题分析:(1)首先明确的表达式,求出
在
上单调递增,且
,从而得到
的单调区间;
(2)由,得
或
,若
,即
,
转而判断直线与
的交点个数即可.
试题解析:
(1)对,求导可得
,
所以,与是
,所以
,
所以,
于是在
上单调递增,注意到
,
故时,
单调递减,
时,
单调递增.
(2)由(1)可知,
由,得
或
,
若,则
,即
,
设
所以在
上单调递增,在
上单调递减,
分析知时,
时,
时,
,
现考虑特殊情况:
①若直线与
相切,
设切点为,则
,整理得
,
设,显然
在
单调递增,
而,故
,此时
.
②若直线过点
,由
,则
,则
,
结合图形不难得到如下的结论:
当时,
有一个零点;
当和
或
时,
有两个零点,
当且
,
由三个零点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在某批次的某种灯泡中,随机地抽取个样品,并对其寿命进行追踪调查,将结果列成频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级,其中寿命大于或等于
天的灯泡是优等品,寿命小于
天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品.
寿命(天) | 频数 | 频率 |
合计 |
(Ⅰ)根据频率分布表中的数据,写出,
的值.
(Ⅱ)某人从灯泡样品中随机地购买了个,求
个灯泡中恰有一个是优等品的概率.
(Ⅲ)某人从这个批次的灯泡中随机地购买了个进行使用,若以上述频率作为概率,用
表示此人所购买的灯泡中次品的个数,求
的分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,为正三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD,
为线段
的中点,
在线段
上.
(I)当是线段
的中点时,求证:PB // 平面ACM;
(II)求证: ;
(III)是否存在点,使二面角
的大小为60°,若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos2 +acos2
=
c.
(Ⅰ)求证:a,c,b成等差数列;
(Ⅱ)若C= ,△ABC的面积为2
,求c.
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