Question

【题目】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD， 为线段的中点， 在线段上.

（I）当是线段的中点时，求证：PB // 平面ACM；

（II）求证： ；

（III）是否存在点，使二面角的大小为60°，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；(Ⅲ)当时，二面角的大小为60°.

【解析】试题分析：(1) 连接BD交AC于H点，由三角形中位线性质得MH // BP ，再根据线面平行判定定理得结论(2)由面面垂直性质定理得PE⊥平面ABCD，即得；（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设列各点坐标，由方程组解得各面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，再根据二面角与法向量之间关系列方程，解得的值

试题解析：（I）证明：连接BD交AC于H点，连接MH，

因为四边形ABCD是菱形，

所以点H为BD的中点.

又因为M为PD的中点，

所以MH // BP.

又因为 BP 平面ACM, 平面ACM.

所以 PB // 平面ACM.

（II）证明：因为为正三角形，E为AB的中点，

所以PE⊥AB .

因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE平面PAB，

所以PE⊥平面ABCD.

又因为平面，

所以.

(Ⅲ) 因为ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是AB的中点，

所以CE⊥AB .

又因为PE⊥平面ABCD，

以为原点，分别以为轴，

建立空间直角坐标系，

则， ，

， ， ．

假设棱上存在点，设点坐标为， ，

则，

所以，

所以， ，

设平面的法向量为，则

，解得．

令，则，得．

因为PE⊥平面ABCD，

所以平面ABCD的法向量，

所以．

因为二面角的大小为60°，

所以，

即，

解得，或（舍去）

所以在棱PD上存在点，当时，二面角的大小为60°．