Question

【题目】如图，在四棱锥中， 是等边三角形， 为的中点，四边形为直角梯形， .

（1）求证：平面平面；

（2）求四棱锥的体积；

（3）在棱上是否存在点，使得平面？说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在为中点.

【解析】试题分析：（1）由 根据线面垂直的判定定理可证明平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论；（2）连接因为△为等边三角形， 为中点，所以．因为平面，所以，由线面垂直的性质可得平面，即是棱锥高，算出底面面积，利用棱锥的体积公式可得结果；（3）棱上存在点，使得∥平面，取中点，连接由中位线定理及线面平行的判定定理可得∥平面，可得平面∥平面．再利用面面平行的性质可得结论.

试题解析：（1） 因为， ， ，

所以平面．因为平面，

所以平面平面．

（2）连接．

因为△为等边三角形， 为中点，所以．

因为平面，所以

因为，所以平面．

所以．

在等边△中，，

，

所以．

（3）棱上存在点，使得∥平面，此时点为中点．取中点，连接．因为为中点， 所以∥．

因为平面，所以∥平面．因为为中点，

所以∥．因为平面，所以∥平面．

因为，所以平面∥平面．

因为平面，所以∥平面．