Question

【题目】(2017·安徽名校阶段性测试)如图所示，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C，D的点，AE＝3，圆O的直径CE＝9.

(1)求证：平面ABE⊥平面ADE；

(2)求五面体ABCDE的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析:(1) 先由线面垂直性质定理得AE⊥CD. 再由圆的性质得CD⊥DE，由线面垂直判定定理得CD⊥平面ADE. 最后根据平行得AB⊥平面ADE.,由面面垂直判定定理得结论( 2)先将五面体分割成两个三棱锥B-ADE和B-CDE,两个三棱锥的高为AB,AE,最后代入锥体体积公式即得结果

试题解析:解：(1)证明：∵AE垂直于圆O所在平面，CD圆O所在平面，∴AE⊥CD.

又CD⊥DE，AE∩DE＝E，AE平面ADE，DE平面ADE，

∴CD⊥平面ADE.

在正方形ABCD中，CD∥AB，

∴AB⊥平面ADE.

又AB平面ABE，

∴平面ABE⊥平面ADE.

(2)连接AC，BD，设正方形ABCD的边长为a，则AC＝a，

又AC2＝CE2＋AE2＝90，

∴a＝3，DE＝6，

∴VBADE＝BA·S△ADE

＝×3×＝9.

又AB∥CD，CD平面CDE，

∴点B到平面CDE的距离等于点A到平面CDE的距离，即AE，

∴VBCDE＝AE·S△CDE＝×3×＝9，

故VABCDE＝VBCDE＋VBADE＝18.