Question

【题目】已知数列满足： ， ， ．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，且满足，试确定的值，使得数列为等差数列；

（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列，且，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列．

Answer 1

【答案】（1）（）（2）见解析（3）见解析

【解析】试题分析：（1）因为，所以, 数列是首项为，公差为的等差数列，从而求出通项公式；（2）因为，即数列是首项为，公差为的等差数列，所以，计算 ，利用，即可求出；（3）因为， ，先证数列满足题意，即证此数列中的任何一项都是数列中的项． 令，则只需证即可．本题也可考虑数学归纳法证明.　

试题解析：

（1）因为，所以，

所以数列是首项为，公差为的等差数列．

所以， ，又由题意， ，

所以（）．

（2）由，得，

故，即数列是首项为，公差为的等差数列，

所以， ，令， ，得， ．

若为等差数列，则，解得．

当时， ， ， 为等差数列．

所以，当时，数列为等差数列．

（3）， ，先证数列满足题意，即证此数列中的任何一项都是数列中的项．

令，则只需证即可．　

此时， ，故．

所以，此数列中的第项是数列中的第项．

（也可以用数学归纳法证明能被整除，证明如下）

① 当时， ，能被整除；

② 假设当（）时结论成立，即能被整除，

那么当时， ，

因为与都能被整除，所以也能被整除，

即时，结论也成立．

由①、②知，当时， 能被整除．

因此，以为首项， ， ，…， ，…为公比的无穷等比数列均满足题意，命题得证．