【题目】数列: 满足: , 或1().对任意,都存在,使得.,其中 且两两不相等.
(I)若.写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号;
①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2
(Ⅱ)记.若,证明: ;
(Ⅲ)若,求的最小值.
【答案】(Ⅰ) ②③(Ⅱ)见解析(Ⅲ)的最小值为
【解析】试题分析:(Ⅰ)依据定义检验给出的数列是否满足要求条件.(Ⅱ)当时, 都在数列中出现,可以证明至少出现4次,2至少出现2次,这样. (Ⅲ)设出现频数依次为.同(Ⅱ)的证明,可得: , , ,┄, , , ,则,我们再构造数列:
,证明该数列满足题设条件,从而的最小值为.
解析:(Ⅰ)对于①,,对于, 或,不满足要求;对于②,若,则,且彼此相异,若,则,且彼此相异,若,则,且彼此相异,故②符合题目条件;同理③也符合题目条件,故符合题目条件的数列的序号为②③.
注:只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分],有错解不给分.
(Ⅱ)当时,设数列中出现频数依次为,由题意.
① 假设,则有(对任意),与已知矛盾,所以.同理可证: .
② 假设,则存在唯一的,使得.那么,对,有(两两不相等),与已知矛盾,所以.
综上: , , ,所以.
(Ⅲ)设出现频数依次为.同(Ⅱ)的证明,可得: , , ,┄, , , ,则.
取得到的数列为:
下面证明满足题目要求.对,不妨令,
① 如果或,由于,所以符合条件;
② 如果或,由于,所以也成立;
③ 如果,则可选取;同样的,如果,
则可选取,使得,且两两不相等;
④ 如果,则可选取,注意到这种情况每个数最多被选取了一次,因此也成立.综上,对任意,总存在,使得,其中且两两不相等.因此满足题目要求,所以的最小值为.
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【题目】已知函数,记.
(1)求证: 在区间内有且仅有一个实数;
(2)用表示中的最小值,设函数,若方程在区间内有两个不相等的实根,记在内的实根为.求证: .
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【题目】已知函数,其中为常数,设为自然对数的底数.
(1)当时,求的最大值;
(2)若在区间上的最大值为,求的值;
(3)设,若,对于任意的两个正实数,证明: .
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【题目】如图,在底面是菱形的四棱锥中, 平面, ,点分别为的中点,设直线与平面交于点.
(1)已知平面平面,求证: .
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】已知数列满足: , , .
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,且满足,试确定的值,使得数列为等差数列;
(3)将数列中的部分项按原来顺序构成新数列,且,求证:存在无数个满足条件的无穷等比数列.
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【题目】设抛物线的焦点为,准线为,点在抛物线上,已知以点为圆心, 为半径的圆交于两点.
(Ⅰ)若, 的面积为4,求抛物线的方程;
(Ⅱ)若三点在同一条直线上,直线与平行,且与抛物线只有一个公共点,求直线的方程.
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