Question

【题目】已知函数，记.

（1）求证： 在区间内有且仅有一个实数；

（2）用表示中的最小值，设函数，若方程在区间内有两个不相等的实根，记在内的实根为.求证： .

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，得到函数的单调性，结合零点存在定理证出结论即可；（2）问题转化为证明x1+x2＞2x0，根据m（x）在（x0，+∞）上递减，即证明m（m2）＜m（2x0﹣x1），根据函数的单调性证明即可．

解析：

（1），定义域为， ，当时， 在上单调递增，又，而在上连续，根据零点存在定理可得： 在区间有且仅有一个实根.

（2）当时， ，而，故此时有，由（1）知， 在上单调递增，有为在内的实根，所以，故当时， ，即；

当时， ，即.因而，

当时， ，因而在上递增；

当时， ，因而在上递减；

若方程在有两不等实根，则满足

要证： ，即证： ，即证： ，

而在上递减，即证： ，又因为，即证： ，即证：

记，由得： .

， ，则，当时， ；当时， .

故，所以当时， ,

,

因此，

即在递增.从而当时， ，即，

故得证.