【题目】已知四棱锥中,
平面
,底面
为菱形,
,
是
中点,
是
的中点,
是
上的点.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)当是
中点,且
时,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)利用菱形的对角线相互垂直和等腰三角形的“三线合一”得到线线垂直,再利用线面垂直的判定定理得到线面垂直,进而利用面面垂直的判定定理进行证明;(Ⅱ)利用第一问的垂直关系建立空间直角坐标系,写出相关点的点的坐标,求出相关直线的方向向量和平面的法向量,利用空间向量的夹角公式进行求解.
试题解析:(Ⅰ)连接,
∵底面为菱形,
,
∴是正三角形,
∵是
中点,∴
,
又,∴
,
∵平面
,
平面
,∴
,
又,∴
平面
,
又平面
,
∴平面平面
.
解:(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
,
两两垂直,
以,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,
不妨设,则
则,
,
,
,
,
,
∴,
,
,
设是平面
的个法向量,
则,取
,得
,
同理可求,平面的个法向量,
则.
观察可知,二面角的平面角为锐角
∴二面角的平面角的余弦值为
.
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【题目】已知函数,记
.
(1)求证: 在区间
内有且仅有一个实数;
(2)用表示
中的最小值,设函数
,若方程
在区间
内有两个不相等的实根
,记
在
内的实根为
.求证:
.
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【题目】某高中三年级共有人,其中男生
人,女生
人,为调查该年级学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集
位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).
(Ⅰ)应收集多少位女生样本数据?
(Ⅱ)根据这个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示).其中样本数据分组区间为:
,
,
,
,
,
.估计该年组学生每周平均体育运动时间超过
个小时的概率.
(Ⅲ)在样本数据中,有位女生的每周平均体育运动时间超过
个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表,并判断是否有
的把握认为“该年级学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附:
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【题目】已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点,
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点,交y轴于M点,若
为定值.
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【题目】设抛物线的焦点为
,准线为
,点
在抛物线
上,已知以点
为圆心,
为半径的圆
交
于
两点.
(Ⅰ)若,
的面积为4,求抛物线
的方程;
(Ⅱ)若三点在同一条直线
上,直线
与
平行,且
与抛物线
只有一个公共点,求直线
的方程.
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【题目】《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定:机动车行经人行横道时,应当减速慢行;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”,《中华人民共和国道路交通安全法》 第90条规定:对不礼让行人的驾驶员处以扣3分,罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
违章驾驶员人数 | 120 | 105 | 100 | 90 | 85 |
(1)请利用所给数据求违章人数y与月份之间的回归直线方程+
(2)预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数;
(3)交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人,调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系,得到如下2列联表:
不礼让斑马线 | 礼让斑马线 | 合计 | |
驾龄不超过1年 | 22 | 8 | 30 |
驾龄1年以上 | 8 | 12 | 20 |
合计 | 30 | 20 | 50 |
能否据此判断有97.5的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关?
参考公式及数据:,
.
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(其中n=a+b+c+d)
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