【题目】如图,在底面是菱形的四棱锥中,
平面
,
,点
分别为
的中点,设直线
与平面
交于点
.
(1)已知平面平面
,求证:
.
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2).
【解析】试题分析:(1)由三角形中位线定理可得,利用线面平行的判定定理可得
平面
,在根据线面平行的性质定理可得
;(2)由勾股定理可得
, ∵
平面
,由此可以点
为原点,直线
分别为轴建立空间直角坐标系,利用两直线垂直数量积为零列出方程组,分别求出直线
的方向向量与平面
的法向量,利用空间向量夹角余弦公式.
试题解析:(1)∵,
平面
,
平面
.
∴平面
,
∵平面
,平面
平面
∴.
(2)∵底面是菱形, 为
的中点
∴
∴ ∵
平面
,则以点
为原点,直线
分别为轴建立如图所示空间直角坐标系则
∴,
,
设平面的法向量为
,有
得
设,则
,
则解之得
,∴
,
设直线与平面
所成角为
则
∴直线与平面
所成角的正弦值为
.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的性质与判定以及利用空间向量求线面角,属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,
,动点
满足:以
为直径的圆与
轴相切.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线
,直线
过点
且与
交于
两点,当
与
的面积之和取得最小值时,求直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】地为绿化环境,移栽了银杏树棵,梧桐树
棵.它们移栽后的成活率分别
为、
,每棵树是否存活互不影响,在移栽的
棵树中:
(1)求银杏树都成活且梧桐树成活棵的概率;
(2)求成活的棵树的分布列与期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位: ),按照区间
,
分组,得到样本身高的频率分布直方图(如图).
(1)求频率分布直方图中的值及身高在
以上的学生人数;
(2)将身高在区间内的学生依次记为
三个组,用分层抽样的方法从这三个组中抽取6人,求从这三个组分别抽取的学生人数;
(3)在(2)的条件下,要从6名学生中抽取2人.用列举法计算组中至少有1人被抽中的概率.
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【题目】已知椭圆的左焦点
与抛物线
的焦点重合,椭圆
的离心率为
,过点
作斜率不为0的直线
,交椭圆
于
两点,点
,且
为定值.
(1)求椭圆的方程;
(2)求面积的最大值.
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