【题目】已知椭圆的左焦点
与抛物线
的焦点重合,椭圆
的离心率为
,过点
作斜率不为0的直线
,交椭圆
于
两点,点
,且
为定值.
(1)求椭圆的方程;
(2)求面积的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:(1)由抛物线焦点可得c,再根据离心率可得a,即得b(2)先设直线方程x=ty+m,根据向量数量积表示,将直线方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理代入化简可得
为定值的条件,解出m;根据点到直线距离得三角形的高,利用弦公式可得底,根据面积公式可得关于t的函数,最后根据基本不等式求最值
试题解析:解:(1)设F1(﹣c,0),∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为(﹣1,0),且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合,∴c=1,
又椭圆E的离心率为,得a=
,
于是有b2=a2﹣c2=1.故椭圆Γ的标准方程为:.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为:x=ty+m,
由整理得(t2+2)y2+2tmy+m2﹣2=0
,,
,
=
=(t2+1)y1y2+(tm﹣t)(y1+y2)+m2﹣
=
.
要使为定值,则
,解得m=1或m=
(舍)
当m=1时,|AB|=|y1﹣y2|=
,
点O到直线AB的距离d=,
△OAB面积s==
.
∴当t=0,△OAB面积的最大值为.
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【题目】“累积净化量()”是空气净化器质量的一个重要衡量指标,它是指空气净化器从开始使用到净化效率为
时对颗粒物的累积净化量,以克表示.根据
《空气净化器》国家标准,对空气净化器的累计净化量(
)有如下等级划分:
累积净化量(克) | 12以上 | |||
等级 |
为了了解一批空气净化器(共2000台)的质量,随机抽取台机器作为样本进行估计,已知这
台机器的累积净化量都分布在区间
中.按照
均匀分组,其中累积净化量在
的所有数据有:
和
,并绘制了如下频率分布直方图:
(1)求的值及频率分布直方图中的
值;
(2)以样本估计总体,试估计这批空气净化器(共2000台)中等级为的空气净化器有多少台?
(3)从累积净化量在的样本中随机抽取2台,求恰好有1台等级为
的概率.
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【题目】已知椭圆的左焦点
与抛物线
的焦点重合,椭圆
的离心率为
,过点
作斜率不为0的直线
,交椭圆
于
两点,点
,且
为定值.
(1)求椭圆的方程;
(2)求面积的最大值.
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【题目】关于曲线
给出下列四个命题:
(1)曲线有两条对称轴,一个对称中心
(2)曲线上的点到原点距离的最小值为1
(3)曲线的长度
满足
(4)曲线所围成图形的面积
满足
上述命题正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,在底面是菱形的四棱锥中,
平面
,
,点
分别为
的中点,设直线
与平面
交于点
.
(1)已知平面平面
,求证:
.
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
, 若椭圆上一点
满足
,且椭圆
过点
,过点
的直线
与椭圆
交于两点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点是点
在
轴上的垂足,延长
交椭圆
于
,求证:
三点共线.
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