【题目】已知函数.
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)求证:存在唯一的,使得曲线
在点
处的切线的斜率为
;
(3)比较与
的大小,并加以证明.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)
.
【解析】试题分析:(1)求出的值可得切点坐标,求出
,可得
的值,从而得切线斜率,利用点斜式可得曲线
在点
处的切线方程;(2)由已知
,只需证明方程
在区间
有唯一解,先利用导数证明
在区间
单调递增,再利用零点存在定理可得结论;(3)当
时,利用导数研究函数
的单调性,可得
,即
,令
即可的结果.
试题解析:(1)函数的定义域是
,
导函数为. 所以
, 又
,
所以曲线在点
处的切线方程为
,
(2)由已知.
所以只需证明方程 在区间
有唯一解.
即方程 在区间
有唯一解.
设函数 ,则
.
当 时,
,故
在区间
单调递增.
又 ,
,
所以 存在唯一的,使得
.
综上,存在唯一的,使得曲线
在点
处的切线的斜率为
.
(3).证明如下:首先证明:当
时,
.
设 ,则
.
当 时,
,
所以
,故
在
单调递增,
所以 时,有
,即当
时,有
.
所以 .
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与零点,属于难题. 求曲线切线方程的一般步骤是:(1)求出在
处的导数,即
在点
出的切线斜率(当曲线
在
处的切线与
轴平行时,在 处导数不存在,切线方程为
);(2)由点斜式求得切线方程
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知正项等比数列{an}(n∈N*),首项a1=3,前n项和为Sn,且S3+a3、S5+a5,S4+a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{nan}的前n项和为Tn,若对任意正整数n,都有Tn∈[a,b],求b-a的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD ,且∠BAP=∠CDP =90°.
(1).证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2).若PA=PD=AB=DC, ∠APD =90°,且四棱锥PABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程是
,以极点为原点,极轴为
轴的正半轴建立极坐标系,曲线
的参数方程为
(
为参数).
(1)写出直线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)设为曲线
上任意一点,求
的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,
,动点
满足:以
为直径的圆与
轴相切.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线
,直线
过点
且与
交于
两点,当
与
的面积之和取得最小值时,求直线
的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点在椭圆
上,且椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若为椭圆
的右顶点,点
是椭圆
上不同的两点(均异于
)且满足直线
与
斜率之积为
.试判断直线
是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图(1)是一个水平放置的正三棱柱,
是棱
的中点.正三棱柱的正(主)视图如图(2).
(Ⅰ)求正三棱柱的体积;
(Ⅱ)证明: ;
(Ⅲ)图(1)中垂直于平面的平面有哪几个?(直接写出符合要求的平面即可,不必说明或证明)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的左焦点
与抛物线
的焦点重合,椭圆
的离心率为
,过点
作斜率不为0的直线
,交椭圆
于
两点,点
,且
为定值.
(1)求椭圆的方程;
(2)求面积的最大值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com