【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程是
,以极点为原点,极轴为
轴的正半轴建立极坐标系,曲线
的参数方程为
(
为参数).
(1)写出直线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)设为曲线
上任意一点,求
的最小值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)根据直线的极坐标方程,即可求得直线l的直角坐标公式,由椭圆C的参数方程即可求得曲线C的直角坐标方程;
(2)由(1)可得丨x-y-4丨=丨2cosφ-sinφ-4丨,根据辅助角公式及正弦函数的性质,即可求得|x-y-4|的最小值.
试题解析:
(1)由ρcosθ-ρsinθ=4,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入即得直线l的直角坐标方程为
;曲线
的参数方程为
(
为参数)所以
.
(2)设,则丨x-y-4丨=丨2cosφ-sinφ-4丨=|
cos(φ+α)-4丨=4-
cos(φ+α)(tanα=
)当cos(φ+α)=1时,|x-y-4|取最小值,最小值为4-
.
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【题目】已知椭圆与抛物线y2=x有一个相同的焦点,且该椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,若,求△AOB的面积.
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【题目】某地随着经济的发展,居民收入逐年增长,下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额),如下表1:
年份x | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
储蓄存款y(千亿元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理, 得到下表2:
时间代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
z | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
(Ⅰ)求z关于t的线性回归方程;
(Ⅱ)通过(Ⅰ)中的方程,求出y关于x的回归方程;
(Ⅲ)用所求回归方程预测到2020年年底,该地储蓄存款额可达多少?
(附:对于线性回归方程,其中
)
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【题目】随着“中华好诗词”节目的播出,掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好,从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生,记录他们每天学习“中华诗词”的时间,并整理得到如下频率分布直方图:
根据学生每天学习“中华诗词”的时间,可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 :
(Ⅰ)从甲大学中随机选出一名学生,试估计其“爱好”中华诗词的概率;
(Ⅱ)从两组“痴迷”的同学中随机选出2人,记为选出的两人中甲大学的人数,求
的分布列和数学期望
;
(Ⅲ)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值与
的大小,及方差
与
的大小.(只需写出结论)
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【题目】设为坐标原点,动点
在椭圆
上,过
作
轴的垂线,垂足为
,点
满足
.(Ⅰ)求点
的轨迹方程
;
(Ⅱ)过的直线
与点
的轨迹交于
两点,过
作与
垂直的直线
与点
的轨迹交于
两点,求证:
为定值.
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【题目】已知椭圆的左焦点
与抛物线
的焦点重合,椭圆
的离心率为
,过点
作斜率不为0的直线
,交椭圆
于
两点,点
,且
为定值.
(1)求椭圆的方程;
(2)求面积的最大值.
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