【题目】已知函数.
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)求的单调区间;
(3)若对于任意,都有
,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
的增区间是
;
递减区间是;(3)
.
【解析】试题分析:(1)求出的值可得切点坐标,再求出
,可得
的值,即得切线斜率,利用点斜式可得曲线
在点
处的切线方程;(2)令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(3)对于任意
,都有
等价于
,令
,
,利用导数研究函数
的单调性,求出函数
的最大值,从而可得结果.
试题解析:(1)因为函数,所以
,
.又因为
,
所以曲线在点
处的切线方程为
.
(2)函数定义域为
, 由(1)可知,
.
令解得
.
与
在区间
上的情况如下:
减 | 极小值 | 增 |
所以, 的单调递增区间是
;
的单调递减区间是
.
(3)当时,“
”等价于“
”.
令,
,
,
.
当时,
,所以
在区间
单调递减.
当时,
,所以
在区间
单调递增.
而,
.
所以在区间
上的最大值为
.
所以当时,对于任意
,都有
.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:① 分离参数恒成立(
可)或
恒成立(
即可);② 数形结合(
图象在
上方即可);③ 讨论最值
或
恒成立;④ 讨论参数.本题(3)是利用方法 ① 求得实数
的取值范围.
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【题目】某次有600人参加的数学测试,其成绩的频数分布表如图所示,规定85分及其以上为优秀.
区间 | [75,80) | [80,85) | [85,90) | [90,95) | [95,100] |
人数 | 36 | 114 | 244 | 156 | 50 |
(Ⅰ)现用分层抽样的方法从这600人中抽取20人进行成绩分析,求其中成绩为优秀的学生人数;
(Ⅱ)在(Ⅰ)中抽取的20名学生中,要随机选取2名学生参加活动,记“其中成绩为优秀的人数”为,求
的分布列与数学期望.
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【题目】在四棱锥中,底面
是直角梯形,
,
,
,平面
平面
.
(Ⅰ)求证: 平面
.
(Ⅱ)求平面和平面
所成二面角(小于
)的大小.
(Ⅲ)在棱上是否存在点
使得
平面
?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD ,且∠BAP=∠CDP =90°.
(1).证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2).若PA=PD=AB=DC, ∠APD =90°,且四棱锥PABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为
(
为参数),以直角坐标系原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹;
(2)若直线的极坐标方程为,求直线被曲线
截得的弦长.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程是
,以极点为原点,极轴为
轴的正半轴建立极坐标系,曲线
的参数方程为
(
为参数).
(1)写出直线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)设为曲线
上任意一点,求
的最小值.
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【题目】已知点在椭圆
上,且椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若为椭圆
的右顶点,点
是椭圆
上不同的两点(均异于
)且满足直线
与
斜率之积为
.试判断直线
是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由.
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【题目】已知抛物线的准线与
轴交于点
,过点
做圆
的两条切线,切点为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线是讲过定点
的一条直线,且与抛物线
交于
两点,过定点
作
的垂线与抛物线交于
两点,求四边形
面积的最小值.
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