【题目】已知点在椭圆
上,且椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若为椭圆
的右顶点,点
是椭圆
上不同的两点(均异于
)且满足直线
与
斜率之积为
.试判断直线
是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由.
【答案】(1) ;(2)答案见解析.
【解析】试题分析:(1)由点在椭圆
上,且椭圆的离心率为
,结合性质
,列出关于
、
、
的方程组,求出
、
、
,即可得椭圆
的方程;(2)由题意,直线
的斜率存在,可设直线
的方程为
,
,
,联立
,得
,根据韦达定理、斜率公式及直线
与
斜率之积为
,可得
,解得
或
,将以上结论代入直线方程即可得结果.
试题解析:(1)可知离心率,故有
,
又有点在椭圆
上,代入得
,
解得,
,
故椭圆的方程为
.
(2)由题意,直线的斜率存在,可设直线
的方程为
,
,
,
联立得
.
∴,
.
∵直线与
斜率之积为
.
而点,∴
.
∴.
化简得,
∴,
化简得,解得
或
,
当时,直线
的方程为直线
与
斜率之积为
,过定点
.
代入判别式大于零中,解得
.
当时,直线
的方程为
,过定点
,不符合题意.
故直线过定点
.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C1: (t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2
cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设为坐标原点,动点
在椭圆
上,过
作
轴的垂线,垂足为
,点
满足
.(Ⅰ)求点
的轨迹方程
;
(Ⅱ)过的直线
与点
的轨迹交于
两点,过
作与
垂直的直线
与点
的轨迹交于
两点,求证:
为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示的自动通风设施.该设施的下部是等腰梯形,其中
为2米,梯形的高为1米,
为3米,上部
是个半圆,固定点
为
的中点.
是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计),且滑动过程中始终保持和
平行.当
位于
下方和上方时,通风窗的形状均为矩形
(阴影部分均不通风).
(1)设与
之间的距离为
(
且
)米,试将通风窗的通风面积
(平方米)表示成关于
的函数
;
(2)当与
之间的距离为多少米时,通风窗的通风面积
取得最大值?
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【题目】“累积净化量()”是空气净化器质量的一个重要衡量指标,它是指空气净化器从开始使用到净化效率为
时对颗粒物的累积净化量,以克表示.根据
《空气净化器》国家标准,对空气净化器的累计净化量(
)有如下等级划分:
累积净化量(克) | 12以上 | |||
等级 |
为了了解一批空气净化器(共2000台)的质量,随机抽取台机器作为样本进行估计,已知这
台机器的累积净化量都分布在区间
中.按照
均匀分组,其中累积净化量在
的所有数据有:
和
,并绘制了如下频率分布直方图:
(1)求的值及频率分布直方图中的
值;
(2)以样本估计总体,试估计这批空气净化器(共2000台)中等级为的空气净化器有多少台?
(3)从累积净化量在的样本中随机抽取2台,求恰好有1台等级为
的概率.
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
, 若椭圆上一点
满足
,且椭圆
过点
,过点
的直线
与椭圆
交于两点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点是点
在
轴上的垂足,延长
交椭圆
于
,求证:
三点共线.
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