【题目】如图,直角梯形中,
,
,
,等腰梯形
中,
,
,
,且平面
平面
.
(1)求证: 平面
;
(2)若与平面
所成角为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:
(1)由平面平面
可得
平面
,从而得到
.又
,
,故由线面垂直的判定定理可得
平面
.(2)设
,由题意可证得四边形
为平行四边形,从而得
平面
,则
为
与平面
所成的角,由
,得
.建立空间直角坐标系,求得平面
和平面
的法向量,根据两向量夹角的余弦值可求得二面角的余弦值.
试题解析:
(1)证明:∵平面平面
,平面
平面
,
,
∴平面
,
又平面
,
∴,
又,
,
∴平面
.
(2)解:设,
∵四边形为等腰梯形,
,
,
∴,
,
∵,
∴四边形为平行四边形,
∴,
又平面
,
∴平面
,
∴为
与平面
所成的角,
∴,
又,
∴.
由两两垂直可建立如图所示的空间直角坐标系
,
则,
,
,
,
∴,
,
∵平面
,
∴平面的法向量为
.
设平面的一个法向量为
,
由 得
∴
令,得
.
∴.
由图形知二面角为锐角,
∴二面角的余弦值为
.
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【题目】为了净化空气,某科研单位根据实验得出,在一定范围内,每喷洒1个单位的净化剂,空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:天)变化的函数关系式近似为y= 若多次喷洒,则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时,它才能起到净化空气的作用.
(1)若一次喷洒4个单位的净化剂,则净化时间可达几天?
(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂,6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效净化,试求a的最小值(精确到0.1,参考数据: 取1.4).
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为
(
为参数),以直角坐标系原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹;
(2)若直线的极坐标方程为,求直线被曲线
截得的弦长.
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【题目】如图,三棱柱中,
平面
,
.过
的平面交
于点
,交
于点
.
(l)求证: 平面
;
(Ⅱ)求证: ;
(Ⅲ)记四棱锥的体积为
,三棱柱
的体积为
.若
,求
的值.
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【题目】已知点在椭圆
上,且椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若为椭圆
的右顶点,点
是椭圆
上不同的两点(均异于
)且满足直线
与
斜率之积为
.试判断直线
是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由.
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【题目】甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏,规则如下:每轮游戏发个红包,每个红包金额为
元,
.已知在每轮游戏中所产生的
个红包金额的频率分布直方图如图所示.
(1)求的值,并根据频率分布直方图,估计红包金额的众数;
(2)以频率分布直方图中的频率作为概率,若甲、乙、丙三人从中各抢到一个红包,其中金额在的红包个数为
,求
的分布列和期望.
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【题目】甲、乙两名同学准备参加考试,在正式考试之前进行了十次模拟测试,测试成绩如下:
甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133
乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146
(1)画出甲、乙两人成绩的茎叶图,求出甲同学成绩的平均数和方差,并根据茎叶图,写出甲、乙两位同学平均成绩以及两位同学成绩的中位数的大小关系的结论;
(2)规定成绩超过127为“良好”,现在老师分别从甲、乙两人成绩中各随机选出一个,求选出成绩“良好”的个数的分布列和数学期望.
(注:方差,其中
为
的平均数)
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