【题目】如图,三棱柱中,
平面
,
.过
的平面交
于点
,交
于点
.
(l)求证: 平面
;
(Ⅱ)求证: ;
(Ⅲ)记四棱锥的体积为
,三棱柱
的体积为
.若
,求
的值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ) .
【解析】试题分析:(l)因为平面
,由线面垂直的性质可得
,根据菱形的性质可得
,利用线面垂直的判定定理可得
平面
;(Ⅱ)由
,
平面
,所以
平面
,利用线面平行的性质定理可得
;(Ⅲ) 记三棱锥
的体积为
,三棱柱
的体积为
,先证明
,所以
,结合
, 可得
,而三棱柱
与三棱柱
等高,由此得
.
试题解析:(1) 因为 平面
,所以
.
在三棱柱中,因为
,所以 四边形
为菱形,
所以 . 所以
平面
.
(2)在 三棱柱中,
因为 ,
平面
,所以
平面
.
因为 平面平面
,所以
.
(3)记三棱锥的体积为
,三棱柱
的体积为
.
因为三棱锥与三棱柱
同底等高,
所以 , 所以
.
因为 , 所以
. 因为 三棱柱
与三棱柱
等高,
所以 △与△
的面积之比为
, 所以
.
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【题目】如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.
(1)若平面ABCD⊥平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值;
(2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.
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【题目】(2017·泰安模拟)如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E为AD的中点,F为B1C1的中点.
(1)求证:A1F∥平面ECC1;
(2)在CD上是否存在一点G,使BG⊥平面ECC1?若存在,请确定点G的位置,并证明你的结论,若不存在,请说明理由.
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【题目】随着“中华好诗词”节目的播出,掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某大学社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好,在该校随机抽取了40名学生,记录他们每天学习“中华诗词”的时间,并整理得到如下频率分布直方图:
根据学生每天学习“中华诗词”的时间,可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 :
学习时间 (分钟/天) | |||
等级 | 一般 | 爱好 | 痴迷 |
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 从该大学的学生中随机选出一人,试估计其“爱好”中华诗词的概率;
(Ⅲ) 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,试估计样本中40名学生每人每天学习“中华诗词”的时间.
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【题目】某市高中全体学生参加某项测评,按得分评为两类(评定标准见表1).根据男女学生比例,使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据,其中等级为
的学生中有40%是男生,等级为
的学生中有一半是女生.等级为
和
的学生统称为
类学生,等级为
和
的学生统称为
类学生.整理这10000名学生的得分数据,得到如图2所示的频率分布直方图,
类别 | 得分( | |
表1
(I)已知该市高中学生共20万人,试估计在该项测评中被评为类学生的人数;
(Ⅱ)某5人得分分别为45,50,55,75,85.从这5人中随机选取2人组成甲组,另外3人组成乙组,求“甲、乙两组各有1名类学生”的概率;
(Ⅲ)在这10000名学生中,男生占总数的比例为51%, 类女生占女生总数的比例为
,
类男生占男生总数的比例为
,判断
与
的大小.(只需写出结论)
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线
,以平面直角坐标系
的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线
.
(1)将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
倍、2倍后得到曲线
.试写出直线
的直角坐标方程和曲线
的参数方程;
(2)在曲线上求一点
,使点
到直线
的距离最大,并求出此最大值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,圆的极坐标方程为:
.若以极点
为原点,极轴所在直线为
轴建立平面直角坐标系.
(Ⅰ)求圆的参数方程;
(Ⅱ)在直角坐标系中,点是圆
上动点,试求
的最大值,并求出此时点
的直角坐标.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),在以原点
为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆
的方程为
.
(1)写出直线的普通方程和圆
的直角坐标方程;
(2)设点,直线
与圆
相交于
两点,求
的值.
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