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    【题目】设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.（Ⅰ）求点的轨迹方程；

    （Ⅱ）过的直线与点的轨迹交于两点，过作与垂直的直线与点的轨迹交于两点，求证： 为定值.

    【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.

    【解析】试题分析：

    (Ⅰ)设，由题意可得，则，点在椭圆上，整理计算可得轨迹方程为.

    (Ⅱ)分类讨论：当与轴重合时， .当与轴垂直时， .

    当与轴不垂直也不重合时，可设的方程为， ， ， 联立直线与椭圆的方程有，结合弦长公式有，

    把直线与曲线椭圆联立计算可得.则.

    据此，结论得证.

    试题解析：

    （Ⅰ）设，易知， ，

    又因为，所以，

    又因为在椭圆上，所以，即.

    （Ⅱ）当与轴重合时， ， ，

    ∴.

    当与轴垂直时， ， ，

    ∴.

    当与轴不垂直也不重合时，可设的方程为

    此时设， ， ，

    把直线与曲线联立，

    得，

    可得

    ∴，

    把直线与曲线联立，

    同理可得.

    ∴.

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