Question

【题目】已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为.

（1）求动圆的圆心点的轨迹方程；

（2）过点的动直线与曲线交于两点，平面内是否存在定点，使得直线分别交于两点，使得直线的斜率，满足？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：(1) 设动圆圆心，设圆交轴于两点，连接，则，坐标化条件易得所求的轨迹方程；

（2）直线的方程为，由，结合韦达定理可知：直线的斜率为，由的直线的方程为，

代入抛物线方程，可解得： ，同理，于是直线的斜率，从而得到.

试题解析：

（1）设动圆圆心，设圆交轴于两点，连接，

则，过点作，则点是的中点，

显然，

于是，化简整理得，故的轨迹方程为.

（2）设 ，

设直线的方程为，由，

得 ，所以，直线的斜率为，

由的直线的方程为，

由

于是，又，则，

于是，同理，

于是直线的斜率，

，即，

即恒成立，

故，解得，故 .