Question

【题目】已知函数．

（1）求证：函数是偶函数；

（2）设，求关于的函数在时的值域的表达式；

（3）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）．

【解析】试题分析：（1）判断定义域是否关于原点对称，计算判断其与的关系； （2）令，故，换元得，转化为二次函数，分类讨论求其最值即可；（3））由，得，即恒成立，求其最值即可.

试题解析：

（1）函数的定义域为，对任意， ，

所以，函数是偶函数．

（2），

令，因为，所以，故，

原函数可化为， ，

图像的对称轴为直线，

当时，函数在时是增函数，值域为；

当时，函数在时是减函数，在时是增函数，值域为．

综上，

（3）由，得，　

当时， ，所以，所以，

所以， 恒成立．

令，则， ，

由，得，所以， ．

所以， ，即的取值范围为．