【题目】在中, , , , 是中点(如图1).将沿折起到图2中的位置,得到四棱锥.
(1)将沿折起的过程中, 平面是否成立?并证明你的结论;
(2)若与平面所成的角为60°,且为锐角三角形,求平面和平面所成角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)当DP1⊥DA时,CD⊥平面P1DA.由余弦定理得DC2=4,由勾股定理得DC⊥AD.即得到将△PCD沿CD折起的过程中,当DP1⊥DA时,CD⊥平面P1DA.(2)先证明在平面内的射影必在棱上,再建系,得到两个平面的法向量,得到两个法向量的夹角进而得到两个面的夹角。
解析:
(1)将沿折起过程中, 平面成立,
证明:∵是中点,∴,
在中,由余弦定理得,
.
∴,
∵,
∴为等腰直角三角形且,
∴, ,
∴平面.
(2)由(1)知平面, 平面,
∴平面平面,
∵为锐角三角形,∴在平面内的射影必在棱上(如图),
∴平面,
则是和平面所成的角,
故,
∵,
∴为等边三角形, 为中点,
故以为坐标原点,过点与平行的直线为轴, 所在直线为轴, 所在直线为轴建立如图所示坐标系.
设轴于交于点,
∵,∴ ,
易知,
∴,
则, , , ,
, , , ,
∵平面,
∴可取平面的法向量,
设平面的法向量,平面和平面所成的角为,
则,∴得
令,则,
从而.
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【题目】【选修4-4:坐标系与参数方程】
极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,两神坐标系中的长度单位相同.已知曲线的极坐标方程为, .
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)在曲线上求一点,使它到直线: (为参数)的距离最短,写出点的直角坐标.
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【题目】某化工厂为预测产品的回收率,需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系,现收集了4组对照数据。
3 | 4 | 5 | 6 | |
2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(Ⅰ)请根据相关系数的大小判断回收率与之间是否存在高度线性相关关系;
(Ⅱ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程,并预测当时回收率的值.
参考数据:
1 | 0 | 其他 | |||
相关关系 | 完全相关 | 不相关 | 高度相关 | 低度相关 | 中度相关 |
,
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【题目】某百货商场举行年终庆典,推出以下两种优惠方案:
方案一:单笔消费每满200元立减50元,可累计;
方案二:单笔消费满200元可参与一次抽奖活动,抽奖规则如下:从装有6个小球(其中3个红球3个白球,它们除颜色外完全相同)的盒子中随机摸出3个小球,若摸到3个红球则按原价的5折付款,若摸到2个红球则按原价的7折付款,若摸到1个红球则按原价的8折付款,若未摸到红球按原价的9折付款。
单笔消费不低于200元的顾客可从中任选一种优惠方案。
(I)某顾客购买一件300元的商品,若他选择优惠方案二,求该顾客最好终支付金额不超过250元的概率。
(II)若某顾客的购物金额为210元,请用所学概率知识分析他选择哪一种优惠方案更划算?
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【题目】已知椭圆的中心在原点,一个长轴端点为,离心率,过P分别作斜率为的直线PA,PB,交椭圆于点A,B。
(1)求椭圆的方程;
(2)若,则直线AB是否经过某一定点?
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