【题目】如图(1)是一个水平放置的正三棱柱
， 
是棱
的中点．正三棱柱的正（主）视图如图(2)．
(Ⅰ)求正三棱柱
的体积；
(Ⅱ)证明： 
；
(Ⅲ)图（1）中垂直于平面
的平面有哪几个？（直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明）
【答案】（1）
（2）见解析（3）见解析
【解析】试题分析：(1)由图可得高为3，底面为正三角形，边长为2，根据正三棱柱的体积求体积(2) 设
，根据三角形中位线性质得
，再根据线面平行判定定理得结果（3）因为平面
的垂线为AD，所以垂面为平面
、平面
、平面
试题解析：解：(Ⅰ)依题意，在正三棱柱中， 
， 
，从而
所以正三棱柱的体积
．
(Ⅱ)连接
，设
，连接
因为
是正三棱柱的侧面，所以
是矩形， 
是
的中点
所以
是
的中位线， 
因为
， 
， 所以
．
(Ⅲ)平面
、平面
、平面
．
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
寒假乐园北京教育出版社系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆与抛物线y2＝
x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若
，求△AOB的面积．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设
为坐标原点，动点
在椭圆
上，过
作
轴的垂线，垂足为
，点
满足
.（Ⅰ）求点
的轨迹方程
；
（Ⅱ）过
的直线
与点
的轨迹交于
两点，过
作与
垂直的直线
与点
的轨迹交于
两点，求证： 
为定值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图所示的自动通风设施.该设施的下部
是等腰梯形，其中
为2米，梯形的高为1米， 
为3米，上部
是个半圆，固定点
为
的中点. 
是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和
平行.当
位于
下方和上方时，通风窗的形状均为矩形
（阴影部分均不通风）.
（1）设
与
之间的距离为
（
且
）米，试将通风窗的通风面积
（平方米）表示成关于
的函数
；
（2）当
与
之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积
取得最大值？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设圆
的圆心为
，直线
过点
且与
轴不重合， 
交圆
于
两点，过
作
的平行线交
于点
.
（1）证明
为定值，并写出点
的轨迹方程；
（2）设
，过点
作直线
，交点
的轨迹于
两点 (异于
),直线
的斜率分别为
，证明： 
为定值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】“累积净化量（
）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为
时对颗粒物的累积净化量，以克表示.根据
《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累计净化量（
）有如下等级划分：
累积净化量（克） |
|
|
| 12以上 |
等级 |
|
|
|
|
为了了解一批空气净化器（共2000台）的质量，随机抽取
台机器作为样本进行估计，已知这
台机器的累积净化量都分布在区间
中.按照
均匀分组，其中累积净化量在
的所有数据有： 
和
，并绘制了如下频率分布直方图：
（1）求
的值及频率分布直方图中的
值；
（2）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共2000台）中等级为
的空气净化器有多少台？
（3）从累积净化量在
的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为
的概率.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的左焦点
与抛物线
的焦点重合，椭圆
的离心率为
，过点
作斜率不为0的直线
，交椭圆
于
两点，点
，且
为定值．
（1）求椭圆
的方程；
（2）求
面积的最大值．
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