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【题目】如图1,在直角梯形ABCD中,ADBCABBCBDDC,点EBC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AEACDE,得到如图2所示的几何体.

AD1,二面角CABD的平面角的正切值为,求二面角BADE的余弦值.

【答案】

【解析】

根据已知可得平面,进而有AB⊥平面ADC,得出二面角CABD的平面角为∠CAD,求出,以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,确定点坐标,求出平面BAD的法向量坐标,利用平面BAD的一个法向量=(010),由空间向量面面角公式,即可求解.

平面ABD⊥平面BCD,平面ABD平面BCD

BDDC平面平面

平面

AB⊥平面ADC

所以二面角CABD的平面角为∠CAD.

DC⊥平面ABDAD平面ABD,所以DCAD.

依题意tanCAD.

因为AD1,所以CD.

ABxx0),则BD.

依题意△ABD∽△DCB,所以

,解得x

ABBDBC

D为坐标原点,射线DBDC分别为x轴,y轴的正半轴,

建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz

D000),B00),C00),

所以.

平面BAD的一个法向量=(010.

设平面ADE的法向量为=(xyz),

得,

x,得y=-z=-

所以为平面ADE的一个法向量.

所以.

由图可知二面角BADE的平面角为锐角,

所以二面角BADE的余弦值为.

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