【题目】如图,在三棱柱中,
平面
,
,
,且
,
,
,
分别为棱
,
,
,
的中点.
(I)证明:直线与
共面;
(Ⅱ)证明:平面平面
;并试写出
到平面
的距离(不必写出计算过程).
【答案】(I)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析.
【解析】
(I)由中位线的性质可得,再由棱柱的性质可得
,根据平行线的传递性可得
,从而得到四点共面,即可得证;
(Ⅱ)首先可得,再由线面垂直的性质得到
,从而得到
平面
,再根据
,即可得到
平面
,从而得证;设
,则
平面
平面
,过
作
于
,可得
即为
到平面
的距离,再在三角形中利用勾股定理及相似三角形的性质计算可得.
解:(I)证明:,
分别是
,
的中点,
,
由棱柱性质易得,
,
,
,
,
四点共面,即直线
与
共面.
(Ⅱ)同(I)易证四边形为平行四边形,又
,
为
中点,则
,又
平面
,
平面
,
,
,
平面
,
平面
平面
,又
,
平面
,又
平面
,
平面
平面
得证.
到平面
的距离为
.
(解答)如图,设,则
平面
平面
,过
作
于
,可得
即为
到平面
的距离.在
中,
,
,
,
,则
,又
,则在
中,
故,即
到平面
的距离为
.
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【题目】已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).设a=2,b=.
(1)求方程f(x)=2的根;
(2)若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;
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【题目】福彩是利国利民游戏,其刮刮乐之《蓝色奇迹》:如图(1)示例,刮开票面看到最左侧一列四个两位数字为“我的号码”,最上行四个两位数为“中奖号码”,这八个两位数是00至99这一百个数字随机产生的,若两个数字相同即中得其相交线上的奖金,奖金可以累加.小明买的一张《蓝色奇迹》刮刮乐如图(2),除了一个“我的号码”外,他已经刮开票面上其它所有数字,依据目前的信息,小明从这张刮刮乐得到的奖金额高于600元的概率为(无所得税)( )
图(1) 图(2)
A.B.
C.
D.
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【题目】为了减轻家庭困难的高中学生的经济负担,让更多的孩子接受良好的教育,国家施行高中生国家助学金政策,普通高中国家助学金平均资助标准为每生每年1500元,具体标准由各地结合实际在1000元至3000元范围内确定,可以分为两或三档.各学校积极响应政府号召,通过各种形式宣传国家助学金政策.为了解某高中学校对国家助学金政策的宣传情况,拟采用随机抽样的方法抽取部分学生进行采访调查.
(1)若该高中学校有2000名在校学生,编号分别为0001,0002,0003,…,2000,请用系统抽样的方法,设计一个从这2000名学生中抽取50名学生的方案.(写出必要的步骤)
(2)该校根据助学金政策将助学金分为3档,1档每年3000元,2档每年2000元,3档每年1000元,某班级共评定出3个1档,2个2档,1个3档,若从该班获得助学金的学生中选出2名写感想,求这2名同学不在同一档的概率.
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【题目】如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图2所示的几何体.
若AD=1,二面角CABD的平面角的正切值为,求二面角BADE的余弦值.
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【题目】如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.
(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;
(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.
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【题目】如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M为PC的中点.
(1)求异面直线AP,BM所成角的余弦值;
(2)点N在线段AD上,且AN=λ,若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,求λ的值.
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